已知：a>0,b>0,a+b=1,求证：(a+1/a)(b+1/b)>=25/4 ..求最简单的证法!求最简单的证法!

来源：学生作业帮助网编辑：作业帮时间：2024/04/30 03:53:26

已知：a>0,b>0,a+b=1,求证：(a+1/a)(b+1/b)>=25/4 ..求最简单的证法!求最简单的证法!
已知：a>0,b>0,a+b=1,求证：(a+1/a)(b+1/b)>=25/4 ..求最简单的证法!
求最简单的证法!

已知：a>0,b>0,a+b=1,求证：(a+1/a)(b+1/b)>=25/4 ..求最简单的证法!求最简单的证法!
(a+1/a)(b+1/b)
=ab+1/ab+a/b+b/a
≥ab+1/ab+2
[f(x)=x+1/x在x∈(0,1]上单调递减]
≥1/4+1/(1/4)+2
=25/4
取等号时a=b=1/2
希望对你有所帮助,考上理校!

由均值不等式
a+b≥2√ab
ab≤1/4
证法一
(a+1/a)(b+1/b)
=(a^2+1)/a*(b^2+1)/b
=(a^2b^2+a^2+1+b^2)/ab
=[a^2b^2+(a+b)^2-2ab+1]/ab
=[a^2b^2+(1-2ab)+1]/ab
=[(ab-1)^2+1]/ab
(ab-1)^...

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由均值不等式
a+b≥2√ab
ab≤1/4
证法一
(a+1/a)(b+1/b)
=(a^2+1)/a*(b^2+1)/b
=(a^2b^2+a^2+1+b^2)/ab
=[a^2b^2+(a+b)^2-2ab+1]/ab
=[a^2b^2+(1-2ab)+1]/ab
=[(ab-1)^2+1]/ab
(ab-1)^2+1≥25/16
0(a+1/a)(b+1/b)≥25/4得证
取等号时a=b=1/2
证法二
(a+1/a)(b+1/b)
=ab+1/ab+a/b+b/a
[均值不等式]
≥ab+1/ab+2
[f(x)=x+1/x在x∈(0,1]上单调递减]
≥1/4+1/(1/4)+2
=25/4
取等号时a=b=1/2

收起

已知a>b>0求证1/a 已知a>0,b>0,1/a+9/b=1,求证:a+b≥16 已知(a+b)(aa+bb-1)=2 且a>0 b>0 求证a+b 已知a>0,b>0且a+b=1,求证(a+1/a)(b+1/b)>=25/4 已知a>0,b>0,求证b/a^2+a/b^2>=1/a+1/b 已知(a+b)(a²+b²+3/2)=2,a>0,b>0 求证:a+b≤1 已知a.b>0 且a+b=1求证(a+1/a)(b+1/b)>=25/4 已知loga(b)=logb(a)(a,b>0),求证:a=b或a=1/b 已知a,b＞0,a+b=1,求证(a+1/a)(b+1/b)≥25/4 已知任意实数a,求证：（-1）a= -a 已知任意实数a,b且a,b都不等于0,求证a乘以b不等于0 已知a>1,b>0,求证ln((a+b)/b)>1/(a+b) 已知a>0.b>0,求证：（a+b+1/a)(a^2+1/b+1/a^2)>=9 已知a>b>0,求证(a-b)^2/8a 已知a>b>0,求证lna-lnb>(a-b)/a 已知a>b>0,求证((a-b)/a 已知a>b>0,求证(a-b)^2/8a 已知a>b>0,求证:((a-b)^2)/8a 已知a>0,b>0,求证：√(a*b)≥[(a^b)*(b^a)]^[1/(a+b)]