在△ABC中 ∠ACB=90° AB=8 ∠BAC=60° PC⊥面ABC PC=4 M是AB边上的一动点,则PM的最小值为()

来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/04/28 12:09:41
在△ABC中 ∠ACB=90° AB=8 ∠BAC=60° PC⊥面ABC PC=4 M是AB边上的一动点,则PM的最小值为()

在△ABC中 ∠ACB=90° AB=8 ∠BAC=60° PC⊥面ABC PC=4 M是AB边上的一动点,则PM的最小值为()
在△ABC中 ∠ACB=90° AB=8 ∠BAC=60° PC⊥面ABC PC=4 M是AB边上的一动点,则PM的最小值为()

在△ABC中 ∠ACB=90° AB=8 ∠BAC=60° PC⊥面ABC PC=4 M是AB边上的一动点,则PM的最小值为()
∵∠ACB=90° ,AB=8,∠BAC=60°
∴BC=AB×sin60°=8×√3/2=4√3
AC=AB×cos60°=8×1/2=4
∵PC⊥面ABC,PC=4
∴在Rt△PCB中:PB²=PC²+BC²=4²+(4√3)²=64
PB=8
在Rt△PAC中:PA²=PC²+AC²=4²+4²
PA=4√2
在△PAB中,要是P到AB边PM最小值,那么PM⊥AB
在△PAB中,根据余弦定理:
cos∠PBA=(PB²+AB²-PA²/2PB×AB
=[8²+8²-(4√2)²]/2×8×8
=3/4
∴sin∠PBA=√(1-cos²∠PBA)=√(1-9/16)=√7/4
∴在Rt△PBM中,PM=PB×sin∠PBA=8×√7/4=2√7