如图,在△ABC中,BD、CE分别是AC、AB边上的高,且BE=CD.求证:AD=AE
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/05/10 06:15:56
如图,在△ABC中,BD、CE分别是AC、AB边上的高,且BE=CD.求证:AD=AE
如图,在△ABC中,BD、CE分别是AC、AB边上的高,且BE=CD.求证:AD=AE
如图,在△ABC中,BD、CE分别是AC、AB边上的高,且BE=CD.求证:AD=AE
BD、CE相交于o点,
∠BOE=∠DOC
BE=CD
∠BEC=∠BDC=90°
△BOE≌△COD
所以OB=OC
又因为
BE=CD
BC=BC
∠BEC=∠BDC=90°
△BEC≌△CDB
所以BD=CE
故OD=OE
连接AO
则AO=AO
OD=OE
∠AEO=∠ADO=90°
△AEO≌△ADO
所以AE=AD
BD、CE交于O,连接AO
△CDO全等于△BEO(ASA)
OD=OE
△ADO全等于△AEO(HL)
AD=AE
设CE与BD相交于点O,在△BEO和△COD中,因为∠EOB=∠COD(对顶角相等),∠CEB=∠CDB,BE=CD,所以△BEO≌△COD,所以,∠ABD=∠ACE,在△ABD和△ACE中,因为∠A=∠A,∠ADB=∠AEC,∠ABD=∠ACE,所以△ABD≌△ACE,所以AD=AE
证明:
∵BE=CD,BC=BC
∴Rt△BCD≌Rt△BCE (HL)
∴∠B=∠C,BE=CD
∴AB=AC
∵AD=AC-CD
AE=AB-BE
∴ AD=AE
因BCDE四点共圆
连接ED则四边形BCDE是等腰梯形
AE/BE=AD/DC
因BE=CD
故AD=AE
如图所示,∵BD、CE分别是AB、AC边的高, ∴在直角三角形BCE和直角三角形BDC中,CE²=BC²-BE²,BD²=BC²-CD²; ∵BE=CD,由上式可知 ∴CE=BD; 又∵BD、CE分别是AB、AC边的高 ∴三角形ABC的面积=0.5*AB*CE;且三角形ABC的面积=0.5*AC*BD,且CE=BD; ∴AB=AC; ∵BE=CD,AE=AB-BE,AD=AC-CD; ∴AD=AE 故命题得证。