已知函数f(x)=ln(x+1)-x+ax²若a=1/2,求证x大于等于0时,f(x大于等于0)谢谢你们

来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/05/09 18:26:41
已知函数f(x)=ln(x+1)-x+ax²若a=1/2,求证x大于等于0时,f(x大于等于0)谢谢你们

已知函数f(x)=ln(x+1)-x+ax²若a=1/2,求证x大于等于0时,f(x大于等于0)谢谢你们
已知函数f(x)=ln(x+1)-x+ax²

a=1/2,求证x大于等于0时,f(x大于等于0)谢谢你们

已知函数f(x)=ln(x+1)-x+ax²若a=1/2,求证x大于等于0时,f(x大于等于0)谢谢你们
证明:
f'(x)=[1/(x+1)]-1+2ax
a=1/2时,
f'(x)=[1/(x+1)]-1+x=(1-x-1+x²+2x+1)/(x+1)
=(x²+x+1)/(x+1)
当x>=0时,x²+x+1>=1>0,x+1>=1>0
故此时f(x)>0对于x>0恒成立,f(x)在x>=0时单调递增.
由于x>=0,所以f(x)>=f(0)=ln(1)-0+0=0.
即f(x)>=0 (x>=0).证毕.

a=1/2时,f(x)=ln(x+1)-x+x²/2
f'(x)=1/(x+1)-1+x=x²/(x+1)
当x≧0时,f'(x)≧0
所以,f(x)在[0,+∞)上递增
所以,f(x)≧f(0)
f(0)=0
所以,f(x)≧0
祝你开心!希望能帮到你,如果不懂,请追问,祝学习进步!O(∩_∩)O

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