作业帮已知三角形ABC的面积S满足3≤S≤3*根号3且向量AB*向量BC=6,向量AB与向量BC的夹角为a.求a的取值范围求f(a)=sin^2a+2sinacosa+3cos^2a的最小值
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/09 10:40:21
已知三角形ABC的面积S满足3≤S≤3*根号3且向量AB*向量BC=6,向量AB与向量BC的夹角为a.求a的取值范围求f(a)=sin^2a+2sinacosa+3cos^2a的最小值
已知三角形ABC的面积S满足3≤S≤3*根号3且向量AB*向量BC=6,向量AB与向量BC的夹角为a.求a的取值范围
求f(a)=sin^2a+2sinacosa+3cos^2a的最小值
已知三角形ABC的面积S满足3≤S≤3*根号3且向量AB*向量BC=6,向量AB与向量BC的夹角为a.求a的取值范围求f(a)=sin^2a+2sinacosa+3cos^2a的最小值
记|AB|=c;|BC|=a;
3≤s=a*c*sinB/2≤3*根号3;(1)
向量AB*向量BC=6=a*c*cos(180度-B),
所以a*c*cosB=-6;(2)
(1)/(2)化简得：
-根号3≤tanB≤-1；
所以B 的取值范围为：120度≤B≤135度
所求角为B的补角,所以45度≤a≤60度!
化简后f(a)=根号2*sin(2*a+45度)+2(45度≤a≤60度)；
所以当a=60度时,取最小值,最小值为（3+根号3）/2；
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cos(向量AB,向量BC)=向量AB*向量BC/|向量AB|*|向量BC|=6/|向量AB|*|向量BC|=cosa
|向量AB|*|向量BC|=6/cosa
因为
S=1/2*|向量AB|*|向量BC|*sina
=1/2*6/cosa*sina
=3sina/cosa
=3tan
因为3≤S≤3√3
...
全部展开
1
cos(向量AB,向量BC)=向量AB*向量BC/|向量AB|*|向量BC|=6/|向量AB|*|向量BC|=cosa
|向量AB|*|向量BC|=6/cosa
因为
S=1/2*|向量AB|*|向量BC|*sina
=1/2*6/cosa*sina
=3sina/cosa
=3tan
因为3≤S≤3√3
所以3≤3tan≤3√3
1≤tana≤√3
因为0
2
f(a)=sin^2a+2sinacosa+3cos^2a
=1-cos^2a+sin2a+3cos^2a
=2cos^2a+sin2a+1
=cos2a+1+sin2a+1
=sin2a+cos2a+2
=√2sin(2a+45°)+2
因为40°≤a≤60°
所以80°≤2a≤120°
125°≤2a+45°≤165°
因为sin在90°至180°之间是减函数
所以当为165°时为最小
所以f(a)=√2*sin165°+2
=√2*sin(120+45)+2
=√2*(sin120cos45+cos120sin45)+2
=√2*(√3/2*√2/2-1/2*√2/2)+2
=√3/2-1/2+2
=(√3+3)/2
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