设函数f(x)的定义域为D存在x0∈D,使f(x0)=x0成立,称以(x0,y0)为坐标的点为函数f(x)图象上的稳定点.若f(x)满足飞f[f(x)-x^2+x]=f(x)-x^2+x,D=R,且f(x)有且仅有一个稳定点,求函数f(x)的解析表达式求详细解答

设函数f(x)的定义域为D存在x0∈D,使f(x0)=x0成立,称以(x0,y0)为坐标的点为函数f(x)图象上的稳定点.若f(x)满足飞f[f(x)-x^2+x]=f(x)-x^2+x,D=R,且f(x)有且仅有一个稳定点,求函数f(x)的解析表达式求详细解答
设函数f(x)的定义域为D存在x0∈D,使f(x0)=x0成立,称以(x0,y0)为坐标的点为函数f(x)图象上的稳定点.
若f(x)满足飞f[f(x)-x^2+x]=f(x)-x^2+x,D=R,且f(x)有且仅有一个稳定点,求函数f(x)的解析表达式
求详细解答过程,急,坐等!谢谢!

设函数f(x)的定义域为D存在x0∈D,使f(x0)=x0成立,称以(x0,y0)为坐标的点为函数f(x)图象上的稳定点.若f(x)满足飞f[f(x)-x^2+x]=f(x)-x^2+x,D=R,且f(x)有且仅有一个稳定点,求函数f(x)的解析表达式求详细解答
f(x)=x^2,楼上的,f(x0)=x0是说x0为不动点,你的f(x)=x ,处处为不动点,与题意矛盾.
令f(x)-x^2+x=t,显然有f(t)=t,进一步,由于t是由函数f(x)复合而来的,那么,必须当函数t满足f(t0)=t0时,才可以满足复合后的函数只有一个不动点的条件,解得：f(t0)=t0^2,也就是
f(x)=x^2.

根据题中“稳定点”的定义，稳定点是f(x)函数曲线上横坐标等于纵坐标的点，即f(x)函数曲线与直线y=x的交点。
而f(x)有且仅有一个稳定点，
所以：f(x)与y=x有且只有一个交点 ---------------结论①
对实数域(R)，都有f[f(x)-x^2+x]=f(x)-x^2+x，
说明：f(x)-x^2+x对任意x∈R都恒等于一个实数 ------...

全部展开

根据题中“稳定点”的定义，稳定点是f(x)函数曲线上横坐标等于纵坐标的点，即f(x)函数曲线与直线y=x的交点。
而f(x)有且仅有一个稳定点，
所以：f(x)与y=x有且只有一个交点 ---------------结论①
对实数域(R)，都有f[f(x)-x^2+x]=f(x)-x^2+x，
说明：f(x)-x^2+x对任意x∈R都恒等于一个实数 ---------------结论②
因此有：对任意p∈R，
当x=1/2+p时，f(x)-x^2+x=f(1/2+p)+1/4-p^2
当x=1/2-p时，f(x)-x^2+x=f(1/2-p)+1/4-p^2
于是有：对任意p∈R，f(1/2+p)=f(1/2-p)
所以：函数f(x)关于直线x=1/2对称 ---------------结论③
由结论①③可知 f(x)与y=x交于点(1/2, 1/2)
即：f(1/2)=1/2
再由结论②可知 f(x)-x^2+x=f(1/2)+1/4=3/4
所以：f(x)的表达式是：f(x)=x^2-x+3/4

收起

很简单啊，f(x)=x