2010年黄冈最后一个题的过程谢谢已知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)顶点为C(1,1)且过原点O.过抛物线上一点P(x,y)向直线 y=54作垂线,垂足为M,连FM(如图).(1)求字母a,b,c的值;(2)在直线x=1

来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2021/07/28 05:21:42

2010年黄冈最后一个题的过程谢谢已知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)顶点为C(1,1)且过原点O.过抛物线上一点P(x,y)向直线 y=54作垂线,垂足为M,连FM(如图).(1)求字母a,b,c的值;(2)在直线x=1
2010年黄冈最后一个题的过程谢谢
已知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)顶点为C(1,1)且过原点O.过抛物线上一点P(x,y)向直线 y=54作垂线,垂足为M,连FM(如图).
(1)求字母a,b,c的值;
(2)在直线x=1上有一点 F(1,34),求以PM为底边的等腰三角形PFM的P点的坐标,并证明此时△PFM为正三角形;
(3)对抛物线上任意一点P,是否总存在一点N(1,t),使PM=PN恒成立,若存在请求出t值,若不存在请说明理由.

2010年黄冈最后一个题的过程谢谢已知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)顶点为C(1,1)且过原点O.过抛物线上一点P(x,y)向直线 y=54作垂线,垂足为M,连FM(如图).(1)求字母a,b,c的值;(2)在直线x=1
(1)抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)顶点为C(1,1)且过原点O,
可得- b2a=1,4ac-b24a=1,c=0,
∴a=-1,b=2,c=0.
(2)由(1)知抛物线的解析式为y=-x2+2x,
故设P点的坐标为(m,-m2+2m),则M点的坐标(m,54),
∵△PFM是以PM为底边的等腰三角形
∴PF=MF,即(m-1)2+(-m2+2m- 34)2=(m-1)2+( 34- 54)2
∴-m2+2m- 34= 12或-m2+2m- 34=- 12,
①当-m2+2m- 34= 12时,即-4m2+8m-5=0
∵△=64-80=-16<0
∴此式无解
②当-m2+2m- 34=- 12时,即-m2+2m=0
∴m=1+ 32或m=1- 32
Ⅰ、当m=1+ 32时,P点的坐标为(1+ 32,14),M点的坐标为(1+ 32,54)
Ⅱ、当m=1- 32时,P点的坐标为(1- 32,14),M点的坐标为(1- 32,54)
∴△MPF为为正三角形,P点坐标为:(1+ 32,14)或(1- 32,14).
(3)当t= 34时,即N与F重合时PM=PN恒成立.
证明:过P作PH与直线x=1的垂线,垂足为H,
在Rt△PNH中,
PN2=(x-1)2+(t-y)2=x2-2x+1+t2-2ty+y2,
PM2=( 54-y)2=y2- 52y+ 2516,
P是抛物线顶点,
∴y=-x2+2x;∴PN2=1-y+t2-2ty+y2=y2- 52y+ 2516,
∴- 32y+2ty+ 916-t2=0,y(2t- 32)+( 916-t2)=0对任意y恒成立.
∴2t- 32=0且 916-t2=0,
∴t= 34,
故t= 34时,PM=PN恒成立.
∴存在这样的点.

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