在正方形ABCD中,点E是CD的中点,点F是BC边上一点,角FAE＝角EAD,所以EF垂直AE求证,辅助线为EG垂直AF

来源：学生作业帮助网编辑：作业帮时间：2024/05/09 12:19:54

在正方形ABCD中,点E是CD的中点,点F是BC边上一点,角FAE＝角EAD,所以EF垂直AE求证,辅助线为EG垂直AF
在正方形ABCD中,点E是CD的中点,点F是BC边上一点,角FAE＝角EAD,所以EF垂直AE求证,辅助线为EG垂直AF

在正方形ABCD中,点E是CD的中点,点F是BC边上一点,角FAE＝角EAD,所以EF垂直AE求证,辅助线为EG垂直AF
方法一：
延长FE交AD的延长线于H.
∵ABCD是正方形,∴∠HDE＝∠FCE＝90°,又∠DEH＝∠CEF、DE＝CE,
∴△DHE≌△CFE,∴HE＝FE,而∠HAE＝∠FAE,∴AE⊥EF.
方法二：
过E作EG⊥AF交AF于G.
∵ABCD是正方形,∴AD⊥DE、CE⊥CF.
∵∠DAE＝∠GAE、∠ADE＝∠AGE＝90°、AE＝AE,∴△ADE≌△AGE,∴∠AED＝∠AEG.
∵△ADE≌△AGE,∴DE＝GE,又DE＝CE,∴GE＝CE,又EF＝EF、∠EGC＝∠ECF＝90°,
∴△EFG≌△EFC,∴∠FEG＝∠FEC.
由∠AED＝∠AEG、∠FEC＝∠FEG,得：∠AED＋∠FEC＝∠AEG＋∠FEG＝∠AEF,
显然有：∠AED＋∠FEC＋∠AEF＝180°,∴2∠AEF＝180°,∴∠AEF＝90°,∴AE⊥EF.

用重合法证明。取G∈BC 使BC＝4GC
设AB＝4 则AG＝√﹙3²+4²﹚＝5，EG＝√5 AE＝2√5
DE∶AD∶AE＝2∶4∶2√5＝√5∶2√5∶5＝EG∶AE∶AG ∴⊿EDA∽⊿GEA ∴∠GAE＝∠EAD
∴G与F重合，∠FEA＝∠BEA＝∠EDA＝90º, 即 EF垂直AE。

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方法一：
延长FE交AD的延长线于H。
∵ABCD是正方形，∴∠HDE＝∠FCE＝90°，又∠DEH＝∠CEF、DE＝CE，
∴△DHE≌△CFE，∴HE＝FE，而∠HAE＝∠FAE，∴AE⊥EF。
方法二：
过E作EG⊥AF交AF于G。
∵ABCD是正方形，∴AD⊥DE、CE⊥CF。
∵∠DAE＝∠GAE、∠ADE＝∠AGE＝90°、AE＝AE，∴△ADE≌△AGE，∴∠AED＝∠AEG。
∵△ADE≌△AGE，∴DE＝GE，又DE＝CE，∴GE＝CE，又EF＝EF、∠EGC＝∠ECF＝90°，
∴△EFG≌△EFC，∴∠FEG＝∠FEC。
由∠AED＝∠AEG、∠FEC＝∠FEG，得：∠AED＋∠FEC＝∠AEG＋∠FEG＝∠AEF，
显然有：∠AED＋∠FEC＋∠AEF＝180°，∴2∠AEF＝180°，∴∠AEF＝90°，∴AE⊥EF。

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