作业帮已知G(x)=xf(x),如f(x)在［0,1］上有二阶导数,且f(0)=f(1)=0,证明：证明：在(0,1)内至少存在一点m,使得G’’(m)=0
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/04/29 15:32:50
已知G(x)=xf(x),如f(x)在［0,1］上有二阶导数,且f(0)=f(1)=0,证明：证明：在(0,1)内至少存在一点m,使得G’’(m)=0
已知G(x)=xf(x),如f(x)在［0,1］上有二阶导数,且f(0)=f(1)=0,证明：
证明：在(0,1)内至少存在一点m,使得G’’(m)=0
已知G(x)=xf(x),如f(x)在［0,1］上有二阶导数,且f(0)=f(1)=0,证明：证明：在(0,1)内至少存在一点m,使得G’’(m)=0
证明：
∵f(x)在[0,1]上有二阶导数
∴f(x)及f'(x)在[0,1]上连续可导
∴G(x)及G'(x)在[0,1]上也连续可导
又f(0)=f(1)=0
∴G(0)=0*f(0)=0,G(1)=f(1)=0
由罗尔定理知
在(0,1)内至少存在一点ξ1,使G'(ξ1)=0
又G'(x)=f(x)+xf'(x)
且f(0)=f(1)=0
∴G'(0)=f(0)+0*f'(0)=0
∴G'(0)=G'(ξ1)=0
∴由罗尔定理知
在(0,ξ1),即(0,1)内至少存在一点m,使G''(m)=0
证毕
G(x)=xf(x)，
求导：
G‘(x)=f(x)+xf'(x);
因为如f(x)在［0，1］上有二阶导数，且f(0)=f(1)=0
罗尔定理：如果函数f(x)满足：（1）在闭区间[a,b]上连续（其中a不等于b）；（2）在开区间(a,b)内可导；（3）在区间端点处的函数值相等，即f(a)=f(b)，
那么在区间(a,b)内至少存在一点ξ(a<ξ
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G(x)=xf(x)，
求导：
G‘(x)=f(x)+xf'(x);
因为如f(x)在［0，1］上有二阶导数，且f(0)=f(1)=0
罗尔定理：如果函数f(x)满足：（1）在闭区间[a,b]上连续（其中a不等于b）；（2）在开区间(a,b)内可导；（3）在区间端点处的函数值相等，即f(a)=f(b)，
那么在区间(a,b)内至少存在一点ξ(a<ξ
所以在(0,1)内至少存在一点m，使得G’’(m)=0
收起
因为f(0)=f(1)=0,所以G(0)=G(1)=0。由罗尔定理，在[0,1]上存在一点ξ，使得G'(ξ)=0。
再对G（x）求导，得G'(x)=f(x)+xf'(x)。所以，G'(0)=0。即G'(0)=G'(ξ)=0。
再由罗尔定理，在[0，ξ]上存在一点m，使得G‘’(m)=0。即在[0,1]上存在一点m，使得G‘’(m)=0。