高中数学必修五：已知函数f（x)=(1-2x)/(x+1) (x>=1),构造数列An=f(n) (n∈N+) (1) 求证：An>-2(2) 数列{An}是递增数列还是递减数列?为什么?

来源：学生作业帮助网编辑：作业帮时间：2024/04/28 15:00:44

高中数学必修五：已知函数f（x)=(1-2x)/(x+1) (x>=1),构造数列An=f(n) (n∈N+) (1) 求证：An>-2(2) 数列{An}是递增数列还是递减数列?为什么?
高中数学必修五：已知函数f（x)=(1-2x)/(x+1) (x>=1),构造数列An=f(n) (n∈N+) (1) 求证：An>-2
(2) 数列{An}是递增数列还是递减数列?为什么?

高中数学必修五：已知函数f（x)=(1-2x)/(x+1) (x>=1),构造数列An=f(n) (n∈N+) (1) 求证：An>-2(2) 数列{An}是递增数列还是递减数列?为什么?
(1)f(n)+2=3/(1+n)>0
所以f(n)>-2
即An>-2
(2)f(n)=3/(1+n)-2
因为n+1>=2
所以f(n)单调减
所以{An}为递减数列

(1)f(x)=(1-2x)/(x+1)
=[-2(x+1)+2+1]/(x+1)
=-2+3/(x+1)
An=f(n)=-2+3/(n+1)
∵n∈N+ 3/(n+1)>0 -2+3/(n+1)>-2
An>-2
(2)显然，An是反比例函数上的一些特定点，是递减数列。

a(n)=f(n)=(1-2n)/(n+1)
a(n)=(n+1-3n)/(n+1)
=1-3n/(n+1)
因为n是正整数,将分子分母同时除以n,
a(n)=1-3/(1+1/n)
当3/(1+1/n)最大时,a(n)最小,
要使3/(1+1/n)最大,分母要最小,即1/n要最小.
当n趋近于无穷大时,3/(1+1/n)趋近于3

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An-An-1=(1-2n)/(n+1)-(1-2n)/n=(n-2n^2-n-1+2n^2+2n)/n(n+1)=(2n-1)/n(n+1)
因为 (n∈N+) ,则
An-An-1＞0
An 是递增数列
Lim An= (1-2n)/(n+1)=(1-2/n)/(1+1/n)=-2
n→∞
所以，An>-2

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