作业帮已知a,b,c都是大于3的质数,且2a+5b=c (1)求证：存在正整数n>1,使所有满足题设的三个质数a,b,c的和a+b+c都能被n整除；（2）求上题中n的最大值
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/01 15:49:12
已知a,b,c都是大于3的质数,且2a+5b=c (1)求证：存在正整数n>1,使所有满足题设的三个质数a,b,c的和a+b+c都能被n整除；（2）求上题中n的最大值
已知a,b,c都是大于3的质数,且2a+5b=c (1)求证：存在正整数n>1,使所有满足题设的三个质数a,b,c的和a+b+c都
能被n整除；
（2）求上题中n的最大值
已知a,b,c都是大于3的质数,且2a+5b=c (1)求证：存在正整数n>1,使所有满足题设的三个质数a,b,c的和a+b+c都能被n整除；（2）求上题中n的最大值
这里我们取两组值进行分析：
（1） a=11 b=5 则c=22+25=47 a+b+c=63
（2） a=13 b=7 则c=26+35=61 a+b+c=81
∵最大公约数(63,81)=9 ∴n最大可能值是9.
证明：∵2a+5b=c ∴a+b+c=a+b+2a+5b=3a+6b=3(a+2b) ∴3|a+b+c
设a、b被3除余数为ra、rb.由于a、b是质数,故ra、rb值必是1或2.所以存在以下情况：
① ra≠rb,则其中必有一个为1、另一个为2.
∵1+2=3 ∴ c=2a+5b=2(a+b)+3b ∴3|c
这与c是质数相矛盾,故这种情况不存在.
② ra=rb,则 3|a-b.∵a+2b=3b+(a-b) ∴3|a+2b ∴9| a+b+c
命题成立,即n=9.
1、a+b+c=3(a+2b)，n取3即可。
2、由第一问已知3整除a+b+c。
设a、b被3整除后的余数分别为p,q，则a=3m+p,b=3k+q，p≠0，q≠0。
如果p≠q，则p=1,q=2，或者p=2,q=1。
c=2a+5b=2(3m+2)+5(3k+1)=3(2m+5k+3)或者2a+5b=3(2m+5k+4）。这与c为质数矛盾．
所以，只能是p...
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1、a+b+c=3(a+2b)，n取3即可。
2、由第一问已知3整除a+b+c。
设a、b被3整除后的余数分别为p,q，则a=3m+p,b=3k+q，p≠0，q≠0。
如果p≠q，则p=1,q=2，或者p=2,q=1。
c=2a+5b=2(3m+2)+5(3k+1)=3(2m+5k+3)或者2a+5b=3(2m+5k+4）。这与c为质数矛盾．
所以，只能是p=q，则p=q=1或p=q=2。
所以a+2b必是3的倍数，从而a+b+c是9的倍数。
下面说明n的最大取值不可能超过9。
比如取a=13，b=7，则c=61，a+b+c=81。
取a=11，b=5，则c=47，a+b+c=63。
63与81的最大公约数是9。
所以n的最大取值是9。
（这是我问一位数学高手这问题时，ta给的解答，我看百度上没有这题的正确解答，故分享一下。）
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