作业帮高中立体几何,2问求详解如图,平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,以顶点A为端点的三条棱长都为1,且两夹角为60°．（1）求AC1的长；（2）求BD1与AC夹角的余弦值．
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/06 20:16:35
高中立体几何,2问求详解如图,平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,以顶点A为端点的三条棱长都为1,且两夹角为60°．（1）求AC1的长；（2）求BD1与AC夹角的余弦值．
高中立体几何,2问求详解
如图,平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,以顶点A为端点的三条棱长都为1,且两夹角为60°．
（1）求AC1的长；
（2）求BD1与AC夹角的余弦值．
高中立体几何,2问求详解如图,平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,以顶点A为端点的三条棱长都为1,且两夹角为60°．（1）求AC1的长；（2）求BD1与AC夹角的余弦值．
∵∠DAB=60°,∴∠ABC=120˚；
于是AC²=AB²+BC²-2AB*BCcos120˚=2+2cos60˚=3
在平面AA1B1B内作A1E⊥AB,则A1E=AA1sin60˚=√3/2.
在对角面ACC1A1内作A1F⊥AC,∵对角面ACC1A1⊥底面ABCD,
AC是它们的交线,因此A1F⊥底面ABCD,连EF,按三垂线定理,
AF⊥EF.
A1E=A1Asin60°=√3/2.
AE=A1Acos60°=1/2.
EF=AEtan30°=(1/2)(√3/3)=√3/6.
∴A1F=√(A1E²-EF²)=√[(√3/2)²-(√3/6)²]=√(2/3).
于是sin∠A1AF=A1F/A1A=√(2/3).
cos∠A1AF=√(1-2/3)=√(1/3).
cos∠ACC1=cos(180˚-∠ACC1)=-cos∠ACC1=-√(1/3).
∴AC1=√[AC²+C1C²-2AC*C1C*cos∠ACC1]
=√[3+1+2(√3)√(1/3)]=√6.
图在哪里？？？