作业帮已知函数f(x)=ax·lnx+b(a,b∈R),在点（e,f(e)）处的切线方程是2x-y-e=0 (e为自然对数的底) （1）求实数a,b的值及f(x)的解析式； （2）若t是正数,设h(x)=f(x)+f(t-x),求h(x)的最小值； （3）若关于x的不等式
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/04/28 22:35:32
已知函数f(x)=ax·lnx+b(a,b∈R),在点（e,f(e)）处的切线方程是2x-y-e=0 (e为自然对数的底) （1）求实数a,b的值及f(x)的解析式； （2）若t是正数,设h(x)=f(x)+f(t-x),求h(x)的最小值； （3）若关于x的不等式
已知函数f(x)=ax·lnx+b(a,b∈R),在点（e,f(e)）处的切线方程是2x-y-e=0 (e为自然对数的底)
（1）求实数a,b的值及f(x)的解析式；
（2）若t是正数,设h(x)=f(x)+f(t-x),求h(x)的最小值；
（3）若关于x的不等式x ln x+(6-x)≥(k^2-72k)对一切x∈(0,6)恒成立,求实数k的取值范围.
已知函数f(x)=ax·lnx+b(a,b∈R),在点（e,f(e)）处的切线方程是2x-y-e=0 (e为自然对数的底) （1）求实数a,b的值及f(x)的解析式； （2）若t是正数,设h(x)=f(x)+f(t-x),求h(x)的最小值； （3）若关于x的不等式
f(e)=ae+b
f'(x)=alnx + a
∴f'(e)=2a
∴f(x)在x=e处的切线方程为y=f'(e)x+f(e)-ef'(e)=2ax-ae+b
与已知y=2x-e比较可得
2a=2
-ae+b=-e
∴a=1
b=0
（1）依题意有2e-f（e）-e=0，∴f（e）=e
∵f（x）=axlnx+b，∴f′（x）=alnx+a+b
∴f′（e）=alne+a+b=2，∴2a+b=2，∴b=2-2a
∵点（e，f（e））在函数f（x）=axlnx+b上
∴f（e）=aelne+b=ae+b=e
∴ae+2-2a=e，∴a=1
∴b=0，∴f（x）=xlnx；
...
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（1）依题意有2e-f（e）-e=0，∴f（e）=e
∵f（x）=axlnx+b，∴f′（x）=alnx+a+b
∴f′（e）=alne+a+b=2，∴2a+b=2，∴b=2-2a
∵点（e，f（e））在函数f（x）=axlnx+b上
∴f（e）=aelne+b=ae+b=e
∴ae+2-2a=e，∴a=1
∴b=0，∴f（x）=xlnx；
故实数a=1，b=0，f（x）=xlnx …（4分）
（2）h（x）=f（x）+f（t-x）=xlnx+（t-x）ln（t-x），h（x）的定义域为（0，t）；…（5分）
h′（x）=lnx+1-[ln（t-x）+1]=lnx t-x …（6分）
由h′（x）＞0得t 2 ＜x＜t；h′（x）＜0得0＜x＜t 2 …（8分）
∴h（x）在(t 2 ，t)上是增函数，在（0，t 2 ）上是减函数
∴h（x）min=h（t 2 ）=tlnt 2 …（10分）
（3）∵xlnx+（6-x）ln（6-x）=f（x）+f（6-x）=h（x）
由（2）知，h（x）min=h（t 2 ）=tlnt 2 ，∴t=6，h（x）min=h（3）=6ln3=ln729
∵关于x的不等式xlnx+（6-x）ln（6-x）≥ln（k2-72k）对一切x∈（0，6）恒成立，
∴ln（k2-72k）≤ln729
∴ k2-72k＞0 k2-72k≤729
∴-9≤k＜0或72＜k≤81…（13分）
故实数k的取值范围为[-9，0）∪（72，81]．…（14分）
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