作业帮若一个矩形的长、宽、对角线的长度都是整数,证明:这个矩形的面积是12的倍数.
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/04 19:02:07
若一个矩形的长、宽、对角线的长度都是整数,证明:这个矩形的面积是12的倍数.
若一个矩形的长、宽、对角线的长度都是整数,证明:这个矩形的面积是12的倍数.
若一个矩形的长、宽、对角线的长度都是整数,证明:这个矩形的面积是12的倍数.
在矩形中,长宽以及对角线都是整数意味着,在由长（a）宽（b）和对角线（c）构成的直角三角形中,a^2+b^2=c^2且a,b,c均为正整数
所以a,b,c满足a=k(m^2-n^2),b=2kmn,c=k(m^2+n^2)（其中k,m,n均为正整数）
所以矩形面积为S=ab=2k^2*mn*(m-n)*(m+n)
若m,n除以3同余,即m≡n(mod 3),则m-n必能被3整除,又因为m,n,(m-n),(m+n)其中至少有一个是偶数,所以S能被12整除；
若m,n分别除以3后,余数之和为3或0,则(m+n)必能被3整除,又因为m,n,(m-n),(m+n)其中至少有一个是偶数,所以S能被12整除；
综上所述,S总能被12整除,所以这个矩形的面积必为12的倍数
勾股定理表示最小勾股数是3、4、5。（三角形的三条边长）
所以最小的三角形也是3*4=12
而矩形就是长方形，等于两个三角形
所以这个矩形最小也是12*2=24
24是12的倍数
证明完毕
∵矩形的长、宽、对角线的长度都是整数
∴这个矩形可以沿着对角线分成两个三角形
∵3*4=12（勾股定理）
∴这个矩形最小的面积是12*2=...
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勾股定理表示最小勾股数是3、4、5。（三角形的三条边长）
所以最小的三角形也是3*4=12
而矩形就是长方形，等于两个三角形
所以这个矩形最小也是12*2=24
24是12的倍数
证明完毕
∵矩形的长、宽、对角线的长度都是整数
∴这个矩形可以沿着对角线分成两个三角形
∵3*4=12（勾股定理）
∴这个矩形最小的面积是12*2=24
答：这个矩形的面积是12的倍数。
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