作业帮反常积分的计算问题如下
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/09 06:32:50
反常积分的计算问题如下
反常积分的计算
问题如下
反常积分的计算问题如下
你写错了,第一个式子等于(√π)/2
cosαx = [e^(iαx) + e^(-iαx)]/2
e^(-x²)cosαx = [e^(-x²+iαx) + e^(-x²-iαx)]/2
开始配方,e^(-x²+iαx) = e^(-(x - iα/2)² - α²/4)
e^(-x²-iαx) = e^(-(x + iα/2)² - α²/4)
则∫e^(-x²)cosαx【下限0上限+∞】
= 1/2 e^(-α²/4) ∫[e^(-(x - iα/2)²) + e^(-(x + iα/2)²)] dx【下限0上限+∞】
而∫e^(-(x - iα/2)²) dx【下限0上限+∞】
= ∫e^(-(x - iα/2)²) d(x - iα/2)【下限0上限+∞】
= ∫e^(-t²) dt【下限-iα/2上限+∞】
= ∫e^(-t²) dt【下限-iα/2上限0】 + ∫e^(-t²) dt【下限0上限+∞】
同理∫e^(-(x + iα/2)²) dx【下限0上限+∞】
= ∫e^(-t²) dt【下限iα/2上限+∞】
= ∫e^(-t²) dt【下限0上限+∞】 - ∫e^(-t²) dt【下限0上限iα/2】
因为e^(-t²)是偶函数,所以∫e^(-t²) dt【下限-iα/2上限0】
= ∫e^(-t²) dt【下限0上限iα/2】
所以∫[e^(-(x - iα/2)²) + e^(-(x + iα/2)²)] dx【下限0上限+∞】
= 2∫e^(-t²) dt【下限0上限+∞】
= √π
故原式 = (√π)/2 e^(-α²/4)