设a、b、c、d是互不相等的整数,P是质数,且关于x的方程(x-a)×(x-b)×(x-c)×(x-d)=P的二次方有整数根,说明:a+b+c+d能被4整除.答出重赏!

来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/05/12 11:35:18
设a、b、c、d是互不相等的整数,P是质数,且关于x的方程(x-a)×(x-b)×(x-c)×(x-d)=P的二次方有整数根,说明:a+b+c+d能被4整除.答出重赏!

设a、b、c、d是互不相等的整数,P是质数,且关于x的方程(x-a)×(x-b)×(x-c)×(x-d)=P的二次方有整数根,说明:a+b+c+d能被4整除.答出重赏!
设a、b、c、d是互不相等的整数,P是质数,且关于x的方程(x-a)×(x-b)×(x-c)×(x-d)=P的二次方有整数根,说明:a+b+c+d能被4整除.
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设a、b、c、d是互不相等的整数,P是质数,且关于x的方程(x-a)×(x-b)×(x-c)×(x-d)=P的二次方有整数根,说明:a+b+c+d能被4整除.答出重赏!
由于p是质数,所以p的平方只能是分解为质数相乘而没有其他约数.
又由于a、b、c、d互不相等,
因此,关于x的方程的(x-a)(x-b)(x-c)(x-d)只能是
-1×1×p×(-p).
由于a、b、c、d的平等性,
我们令x-a=-1,x-b=1,x-c=-p,x-d=p,
得出a+b+c+d=4x,由于方程有整数根,所以4x能被4整除.
因此a+b+c+d能被4整除.

a、b、c、d为互不相等整数,方程有整解,所以(x-a)(x-b)(x-c)(x-d)也为互不相等的四个整数.
因为p为质数,所以p平方分解为4个互不相等的整数只能是(-1)*1*p*(-p)
所以a、b、c、d分别等于x+1,x-1,x+p,x-p,四者之和为4x,当然能被4整除