海岛算经的详细解法全部

海岛算经的详细解法全部
海岛算经的详细解法全部

海岛算经的详细解法全部
海岛算经 [三国]刘徽
《海岛算经》由三国刘徽所著,最初是附於他所注的《九章算术》之后,唐初开始单行,体例亦是以应用问题集的形式.
全书共9题,全是利用测量来计算高深广远的问题,首题测算海岛的高、远,故得名.《海岛算经》是中国最早的一部测量数学事著,亦为地图学提供了数学基础.
《海岛算经》是中国数学家刘徽的作品.众所周知,刘徽为《九章算术》作注,《海岛算经》本来亦不是一部独立的著作,只是刘徽为了解释「重差术」而附在《九章算术》中《勾股》章之后的一些问题.所谓「重差术」便是计算极高和极低的方法,经刘徽考究后,把这些方法附在《勾股》章之后.直至唐代初年,这一部分才被人从《九章算术》抽出来独立成书,亦因第一题是测量有关海岛的高度及距离的问题,而把它命名为《海岛算经》.现传版本的《海岛算经》是清初编辑《四库全书》时戴震由《永乐大典》中重新抄录出来,但只剩下九个问题.
《海岛算经》所提及的「重差术」是透过对事物对象的反覆观测（第一、三、四问要观测两次,第二、五、六、八问要观测三次,第七、九问要观测四次）,在不引入三角函数的情况下,运用了相似三角形的对应边成比例的原理来计算出精确的结果,所以《海岛算经》可算是标记著中国古代测量数学的成就.
〔一〕
今有望海岛,立两表齐,高三丈,前后相去千步,令后表与前表相直.从前表却行一百二十三步,人目著地取望岛峰,与表末参合.从后表却行百二十七步,人目著地取望岛峰,亦与表末参合.问岛高及去表各几何?
答曰：岛高四里五十五步；去表一百二里一百五十步.
术曰：以表高乘表间为实；相多为法,除之.所得加表高,即得岛高.求前表去岛远近者：以前表却行乘表间为实；相多为法.除之,得岛去表数.
〔二〕
今有望松生山上,不知高下.立两表齐,高二丈,前后相去五十步,令后表与前表参相直.从前表却行七步四尺,薄地遥望松末,与表端参合.又望松本,入表二尺八寸.复从后表却行八步五尺,薄地遥望松末,亦与表端参合.问松高及山去表各几何?
答曰：松高一十二丈二尺八寸；山去表一里二十八步、七分步之四.
术曰：以入表乘表间为实.相多为法,除之.加入表,即得松高.求表去山远近者：置表间,以前表却行乘之为实.相多为法,除之,得山去表.
〔三〕
今有南望方邑,不知大小.立两表东、西去六丈,齐人目,以索连之.令东表与邑 东南隅及东北隅参相直.当东表之北却行五步,遥望邑西北隅,入索东端二丈二尺六寸半.又却北行去表一十三步二尺,遥望邑西北隅,适与西表相参合.问邑方及邑去表各几何?
答曰：邑方三里四十三步、四分步之三；邑去表四里四十五步.
术曰：以入索乘后去表,以两表相去除之,所得为景长；以前去表减之,不尽以为法.置后去表,以前去表减之,余以乘入索为实.实如法而一,得邑方.求去表远近者：置后去表,以景长减之,余以乘前去表为实.实如法而一,得邑去表.
〔四〕
今有望深谷,偃矩岸上,令勾高六尺.从勺端望谷底,入下股九尺一寸.又设重矩于上,其矩间相去三丈.更从勺端望谷底,入上股八尺五寸.问谷深几何?
答曰：四十一丈九尺.
术曰：置矩间,以上股乘之,为实.上、下股相减,余为法,除之.所得以勾高减之,即得谷深.
〔五〕
今有登山望楼,楼在平地.偃矩山上,令勾高六尺.从勾端斜望楼足,入下股一丈二尺.又设重矩於上,令其间相去三丈.更从勾端斜望楼足,入上股一丈一尺四寸.又立小表於入股之会,复从勾端斜望楼岑端,入小表八寸.问楼高几何?
答曰：八丈.
术曰：上、下股相减,余为法；置矩间,以下股乘之,如勾高而一.所得,以入小表乘之,为实.实如法而,即是楼高.
〔六〕
今有东南望波口,立两表南、北相去九丈,以索薄地连之.当北表之西却行去表六丈,薄地遥望波口南岸,入索北端四丈二寸.以望北岸,入前所望表里一丈二尺.又却行,后去表一十三丈五尺.薄地遥望波口南岸,与南表参合.问波口广几何?
答曰：一里二百步.
术曰：以后去表乘入索,如表相去而一.所得,以前去表减之,余以为法；复以前去表减后去表,余以乘入所望表里为实,实如法而一,得波口广.
〔七〕
今有望清渊下有白石.偃矩岸上,令勾高三尺.斜望水岸,入下股四尺五寸.望白石,入下股二尺四寸.又设重矩於上,其间相去四尺.更从勾端斜望水岸,入上股四尺.以望白石,入上股二尺二寸.问水深几何?
答曰：一丈二尺.
术曰：置望水上、下股相减,余以乘望石上股为上率.又以望石上、下股相减,余以乘望水上股为下率.两率相减,余以乘矩间为实；以二差相乘为法.实如法而一,得水深.
〔八〕
今有登山望津,津在山南.偃矩山上,令勾高一丈二尺.从勾端斜望津南岸,入下股二丈三尺一寸.又望津北岸,入前望股里一丈八寸.更登高岩,北却行二十二步,上登五十一步,偃矩山上.更从勾端斜望津南岸,入上股二丈二尺.问津广几何?
答曰：二里一百二步.
术曰：以勾高乘下股,如上股而一.所得以勾高减之,余为法；置北行,以勾高乘之,如上股而一.所得以减上登,余以乘入股里为实.实如法而一,即得津广.
〔九〕
今有登山临邑,邑在山南.偃矩山上,令勾高三尺五寸.令勾端与邑东南隅及东北隅参相直.从勾端遥望东北隅,入下股一丈二尺.又施横勾於入股之会,从立勾端望西北隅,入横勾五尺.望东南隅,入下股一丈八尺.又设重矩於上,令矩间相去四丈.更从立勾端望东南隅,入上股一丈七尺五寸.问邑广长各几何?
答曰：南北长一里百步；东西广一里三十三步、少半步.
术曰：以勾高乘东南隅入下股,如上股而一,所得减勾高,余为法；以东北隅下股减东南隅下股,余以乘矩间为实.实如法而一,得邑南北长也.求邑广：以入横勾乘矩间为实.实如法而一,即得邑东西广