作业帮在△ABC中,求证：c*(a*cosB-b*cosA)=a*a-b*b
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/02 15:12:47
在△ABC中,求证：c*(a*cosB-b*cosA)=a*a-b*b
在△ABC中,求证：c*(a*cosB-b*cosA)=a*a-b*b
在△ABC中,求证：c*(a*cosB-b*cosA)=a*a-b*b
证明：
在⊿ABC中,由“余弦定理”可得：
cosB=(a²+c²-b²)/(2ac).
cosA=(b²+c²-a²)/(2bc).
∴(2ac)cosB=a²+c²-b².
(2bc)cosA=b²+c²-a².
两式相减可得：
2c(acosB-bcosA)=2(a²-b²)
∴c(acosB-bcosA)=a²-b².
证毕!
余弦定理：
a^2=b^2+c^2-2bccosA
b^2=a^2+c^2-2accosB
所以a^2-b^2=b^2-a^2-2(bccosA-accosB)
2(a^2-b^2)=2(accosB-bccosA)
a^2-b^2=c(acosB-bcosA)
由余弦定理 b^2=a^2+c^2-2accosB accosB=(1/2)(a^2+c^2-b^2) （1）
a^2=b^2+c^2-2bccosA bccosA=(1/2)(b^2+c^2-a^2) (2)
(1)-(2) c*(a*cosB-b*cosA)=(1/2)(2a^2-2b^2)=a^2-b^2
得证
余弦定理性质
对于任意三角形，任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的两倍积，若三边为a，b，c 三角为A，B，C ，则满足性质——
a^2 = b^2 + c^2 - 2·b·c·cosA
a*a-b*b=c^2 - 2·b·c·cosA 则只要c^2 - 2·b·c·cosA =c*(a*cosB-b*cosA)
全部展开
余弦定理性质
对于任意三角形，任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的两倍积，若三边为a，b，c 三角为A，B，C ，则满足性质——
a^2 = b^2 + c^2 - 2·b·c·cosA
a*a-b*b=c^2 - 2·b·c·cosA 则只要c^2 - 2·b·c·cosA =c*(a*cosB-b*cosA)
即a*cosB-b*cosA=c-2BCOSa
设△ABC的三边是a、b、c，它们所对的角分别是A、B、C，则有 a=b·cos C+c·cos B， b=c·cos A+a·cos C， c=a·cos B+b·cos A
所以命题成立
收起