作业帮把2001拆成若干个自然数的和,使这些自然数的乘积尽量大,应如何拆?1快
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/11 22:53:37
把2001拆成若干个自然数的和,使这些自然数的乘积尽量大,应如何拆?1快
把2001拆成若干个自然数的和,使这些自然数的乘积尽量大,应如何拆?1快
把2001拆成若干个自然数的和,使这些自然数的乘积尽量大,应如何拆?1快
因为6=2+2+2=3+3
而2的3次方小于3的2次方
所以应该把2001尽量拆成最多个数的3的和与最少的个数的2的和
而2001/3=667
所以应该把2001拆成667个3的和.
2的1000次方*1
绝对超大
答案是3^667
要解这道题的话，要用到高等微积分的知识
过程如下：
不妨先忽略掉自然数这个条件，即假设可将2001拆分成多个任意实数的和。然后可以证明，只有当2001拆分出来的数都相等时，才可能使得它们的乘积最大，这一点可以根据“基本不等式”得出，即若x+y=a,则xy≤（x²+y²）/2，当且仅当x=y=a/2时等号成立，同样的结论也适合于把a分...
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答案是3^667
要解这道题的话，要用到高等微积分的知识
过程如下：
不妨先忽略掉自然数这个条件，即假设可将2001拆分成多个任意实数的和。然后可以证明，只有当2001拆分出来的数都相等时，才可能使得它们的乘积最大，这一点可以根据“基本不等式”得出，即若x+y=a,则xy≤（x²+y²）/2，当且仅当x=y=a/2时等号成立，同样的结论也适合于把a分为三个数、四个数.....、乃至n个数的情况，意思就是：“如果把一个数分成几个数的和，那么当这几个数相等时，它们的乘积最大”。因此，2001拆分出来的数必须相等才行。
这一步之后，问题实际上转化为：“将2001拆分为N个相等的实数x，求x取何值时x^N最大”
由题意，N=2001/x
令y=x^(2001/x)，要求的就是x为何值时，y最大
两边取对数，得到：lny=（2001/x）lnx
两边求导数，得到：
y’=（2001/x²）（1-lnx）·y【其中y=x^(2001/x)】
当y’=0的时候，y取得最大值，此时1-lnx=0，即x=e≈2.7182818283....
但是题目要求的是自然数，容易看到，与e最接近的自然数就是3
因此，答案就是将2001拆分为667个3的时候，它们的乘积最大
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