南京市2009-2010学年度第一学期期末调研测试数学卷答案

南京市2009-2010学年度第一学期期末调研测试数学卷答案
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南京市2009-2010学年度第一学期期末调研测试数学卷答案
这是高三的 因为不知道你要高几的
南京市2009-2010学年度第一学期期末调研试卷
高三数学参考答案
一、填空题（本大题共14小题,每小题5分,共70分）
1． 2．10 3． 4． 5．8 6． 7．3
8．7 9．72％ 10． 11．13 12． 13．4 14．②④
二、解答题（本大题共6小题,共90分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
15．（本题满分14分,第1小题5分,第2小题9分）
⑴因为 ‖ ,所以 ．………………… ………………………3分
则 ．…………………………………………………………………………5分
⑵因为 ,所以 ,……………………………………7分
即 ．…………………………………………………………………………9分
因为 ,所以 ,则 ．…………………………11分

…………………………………………………14分
16．（本题满分14分,第1小题6分,第2小题8分）
证明：⑴因为 平面 , 平面 ,所以 ．……………2分
因为 ,且 , 平面 ,
所以 平面 ．……………………………………………………………………4分
因为 平面 ,所以 ．………………………………………………6分
⑵取 中点 ,连结 ．
因为 平面 , 平面 ,所以 ．
因为 ,所以 为 的中点．………………………………………………8分
所以 为△ 的中位线．所以 ‖ ,且 = ．……………10分
因为四边形 为平行四边形,所以 ‖ ,且 ．
故 ‖ ,且 ．
因为 为 中点,所以 ‖ ,且 ．
所以四边形 为平行四边形,所以 ‖ ．………………………………12分
因为 平面 , 平面 ,所以 ‖平面 ．………………14分
17．（本题满分14分）
设该机器人最快可在点 处截住小球 ,点 在线段 上．
设 ．根据题意,得 ．
则 ．………………………………………………1分
连接 ,在△ 中, , ,
所以 , ．………………………………………………2分
于是 ．在△ 中,由余弦定理,
得 ．
所以 ．………………8分
解得 ．………………………………………………………………12分
所以 ,或 （不合题意,舍去）．………13分
答：该机器人最快可在线段 上离 点70 处截住小球．…………………………14分
18．（本题满分16分,第1小题6分,第2小题10分）
⑴因为 ,且 ,所以 ．……………………………………2分
所以 ．………………………………………………………………………………4分
所以椭圆 的方程为 ．……………………………………………………6分
⑵设点 的坐标为 ,则 ．
因为 , ,所以直线 的方程为 ．………………………………8分
由于圆 与 由公共点,所以 到 的距离 小于或等于圆的半径 ．
因为 ,所以 ,………………10分
即 ．
又因为 ,所以 ．…………………………12分
解得 ．……………………………………………………………………14分
当 时, ,所以 ．…………16分
19．（本题满分16分,第1小题 4分,第2小题4分,第3小题8分）
⑴ ．…………………………………………………………2分
根据题意,得 即 解得 ……………………3分
所以 ．………………………………………………………………4分
⑵令 ,即 ．得 ．





1
2

+
+


增 极大值 减 极小值 增 2
因为 , ,
所以当 时, , ．………………………………6分
则对于区间 上任意两个自变量的值 ,都有
,所以 ．
所以 的最小值为4．……………………………………………………………………8分
⑶因为点 不在曲线 上,所以可设切点为 ．
则 ．
因为 ,所以切线的斜率为 ．………………………………9分
则 = ,………………………………………………………………11分
即 ．
因为过点 可作曲线 的三条切线,
所以方程 有三个不同的实数解．
所以函数 有三个不同的零点．
则 ．令 ,则 或 ．


0
2

+
+

增 极大值 减 极小值 增
则 ,即 ,解得 ．…………………………………16分
20．（本题满分16分,第1小题 4分,第2小题6分,第3小题6分）
⑴因为 ,
所以 ．…………………………………………………………………………2分
因为 ,所以数列 是以1为首项,公差为 的等差数列．
所以 ．…………………………………………………………………………4分
⑵①当 时,



．…………………………………………………………………………6分
②当 时,


．…………………………………………8分
所以
要使 对 恒成立,
只要使 ．
只要使 ,
故实数 的取值范围为 ．……………………………………………………10分
⑶由 ,知数列 中每一项都不可能是偶数．
①如存在以 为首项,公比 为2或4的数列 , ,
此时 中每一项除第一项外都是偶数,故不存在以 为首项,公比为偶数的数列 ．……………………………………………………………………………………12分
②当 时,显然不存在这样的数列 ．
当 时,若存在以 为首项,公比为3的数列 , ．
则 , , , ．
所以满足条件的数列 的通项公式为 ．……………………………………16分