更相减损法是什么?原理是什么?

来源：学生作业帮助网编辑：作业帮时间：2024/04/29 10:59:23

更相减损法是什么?原理是什么?
更相减损法是什么?原理是什么?

更相减损法是什么?原理是什么?
更相减损术,或称“辗转相除法”是用来求最大公约数的．给出两个正整数a和b,用b除a得商a0,余数r,写成式子：a=a0b+r,0≤r＜b． .(1) 这是最基本的式子．如果r等于0,那么b可以除尽a,而a、b的最大公约数就是b．如果r≠0,再用r除b,得商a1,余数r1,即：b=a1r+r1,0≤r1＜r．.(2) 如果r1=0,那么r除尽b,由(1)也除尽a,所以r是a、b的公约数．反之,任何一个除尽a、b的数,由(1),也除尽r,因此r是a、b的最大公约数．如果r1≠0,则用r1除r得商a2,余数r2,即：r=a2r1+r2,0≤r2＜r1． .(3) 如果r2=0,那么由(2)可知r1是b、r的公约数,由(1),r1也是a、b的公约数．反之,如果一数除得尽a、b,那末由(1),它一定也除得尽b、r,由(2),它一定除得尽r、r1,所以r1是a、b的最大公约数．如果r2≠0,再用r2除r1,如法进行．由于b＞r＞r1＞r2＞.逐步小下来,而又都是正整数,因此经过有限步骤后一定可以找到a、b的最大公约数d(它可能是1)．这就是有名的辗转相除法,在外国称为欧几里得算法．例子:求42897与18644的最大公约数：42897=2×18644+5609,(i) 18644=3×5609+1817,(ii) 5609=3×1817+158,(iii) 1817=11×158+79,(iv) 158=2×79．所以,42897与18644的最大公约数=79

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