用ε-δ定义证明数列收敛怎样用ε-δ定义证明上图中数列是收敛的

来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/04/29 18:08:04
用ε-δ定义证明数列收敛怎样用ε-δ定义证明上图中数列是收敛的

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用ε-δ定义证明数列收敛

怎样用ε-δ定义证明上图中数列是收敛的

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考虑an=3n²/(n²+1)=[(3n²+3)-3]/(n²+1)=3 -3/(n²+1)
则|an -3|=3/(n²+1),
令3/(n²+1)3/ε,n²>3/ε -1.于是
对任意的ε>0(当然,εδ时,
有|an -3|=3/(n²+1)

考虑an=3n²/(n²+1)=[(3n²+3)-3]/(n²+1)=3 -3/(n²+1)
则|an -3|=3/(n²+1),
令3/(n²+1)<ε,则有 n²+1>3/ε,n²>3/ε -1.于是
对任意的ε>0(当然,ε<1),存在δ=√(3/ε -1),当n>δ时,
有|an -3|=3/(n²+1)<ε.
从而an是收敛的。