作业帮在数列an中,a1=1,且对任意实数n∈N*,都有,an+1=an+2^n,（1）求证：数列an/2^n是等差数列；（2）设数列an的前n项和为sn,求证:对任意的n∈N*,都有s（n+1）-4an=1
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/04/29 13:24:56
在数列an中,a1=1,且对任意实数n∈N*,都有,an+1=an+2^n,（1）求证：数列an/2^n是等差数列；（2）设数列an的前n项和为sn,求证:对任意的n∈N*,都有s（n+1）-4an=1
在数列an中,a1=1,且对任意实数n∈N*,都有,an+1=an+2^n,
（1）求证：数列an/2^n是等差数列；
（2）设数列an的前n项和为sn,求证:对任意的n∈N*,都有s（n+1）-4an=1
在数列an中,a1=1,且对任意实数n∈N*,都有,an+1=an+2^n,（1）求证：数列an/2^n是等差数列；（2）设数列an的前n项和为sn,求证:对任意的n∈N*,都有s（n+1）-4an=1
题目写漏个2吧=_+【a(n＋1)＝2an＋2^n】
证明：
⑴
∵a(n＋1)＝2an＋(2^n)
∴a(n＋1)－2an＝2^n
∴[a(n＋1)－2an]/[2^(n＋1)]＝[a(n＋1)/2^(n＋1)]－[an/(2^n)]＝(2^n)/[2^(n＋1)]＝1/2
∴数列{an/2^n}是以首项为a1/2＝1/2,公差为1/2的等差数列
⑵
由⑴知：
an/(2^n)＝1/2＋(n－1)×1/2＝1/2n
∴an＝(1/2n)×(2^n)＝n•2^(n－1)
∴Sn＝1•(2^0)＋2•(2^1)＋3•(2^2)＋……＋(n－1)•2^(n－2)＋n•2^(n－1)
则2Sn＝ 1•(2^1)＋2•(2^2)＋3•(2^3)＋………………＋(n－1)•2^(n－1)＋n•(2^n)
两式相减,得：
Sn＝n•(2^n)－(1＋2＋2^2＋……＋2^(n－1))＝n•(2^n)－[ [1(1－(2^n)]/(1－2) ]＝n•(2^n)－(2^n)＋1＝(2^n)(n－1)＋1
∴S(n＋1)－4an＝[2^(n＋1)]•n＋1－[n•2^(n＋1)]＝1.
原题有问题，应为a(n+1)=2an+2^n，请检查
(1)证明：a(n+1)=2an+2^n
等式两边同除2^(n+1)，得
a(n+1)/2^(n+1)=an/2^n+1/2
故数列{an/2^n}是等差数列，首项a1/2=1/2，公差为1/2
(2)易得an/2^n=1/2n
所以an=n*2^(n-1)
故Sn=1*1+2...
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原题有问题，应为a(n+1)=2an+2^n，请检查
(1)证明：a(n+1)=2an+2^n
等式两边同除2^(n+1)，得
a(n+1)/2^(n+1)=an/2^n+1/2
故数列{an/2^n}是等差数列，首项a1/2=1/2，公差为1/2
(2)易得an/2^n=1/2n
所以an=n*2^(n-1)
故Sn=1*1+2*2+3*2^2+……+n*2^(n-1)①
2Sn=1*2+2*2^2+3*2^3+……+n*2^n②
①-②，得-Sn=1+2+2^2+……+2^(n-1)-n*2^n=2^n-1-n*2^n=(1-n)2^n-1
Sn=(n-1)2^n+1
故有S(n+1)-4an=1
收起
我同意楼上的
我也觉得这题有错，楼主可以确认下题目否
如果原题真的是 a（n+1）=an+2^n的话，那用数学归纳法就可以得到，a2=3，a3=7，那么这三项就已经不满足an/2^n是等差数列了啊
应该是楼上朋友的做法