作业帮已知等轴双曲线C:x^2-y^2=a^2（a>0)的右焦点F,O为坐标原点.过F作一条渐近线的垂线FP且垂足为P,OP长为√2(1)求等轴双曲线C的方程（2）假设过点F且方向向量为d=（1,2）的直线l交双曲线C于A,B两点,求
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/09 13:04:22
已知等轴双曲线C:x^2-y^2=a^2（a>0)的右焦点F,O为坐标原点.过F作一条渐近线的垂线FP且垂足为P,OP长为√2(1)求等轴双曲线C的方程（2）假设过点F且方向向量为d=（1,2）的直线l交双曲线C于A,B两点,求
已知等轴双曲线C:x^2-y^2=a^2（a>0)的右焦点F,O为坐标原点.过F作一条渐近线的垂线FP且垂足为P,OP长为√2
(1)求等轴双曲线C的方程
（2）假设过点F且方向向量为d=（1,2）的直线l交双曲线C于A,B两点,求OA和OB的模长之积
已知等轴双曲线C:x^2-y^2=a^2（a>0)的右焦点F,O为坐标原点.过F作一条渐近线的垂线FP且垂足为P,OP长为√2(1)求等轴双曲线C的方程（2）假设过点F且方向向量为d=（1,2）的直线l交双曲线C于A,B两点,求
.已知等轴双曲线C:x^2-y^2=a^2(a>0)上一定点P(x0,y0)及曲线C上有两个动点A,B满足向量PA·向量PB=0.
(1)M,N分别为PA,PB的中点,求证：向量OM·向量ON=0（O为坐标原点）
(2)求∣AB∣的最小值及此时A点的坐标.
因P(x0,y0)在双曲线x^2-y^2=a^2上,故x0^2-y0^2=a^2.(1)
设A(x1,y1),B(x2,y2),仿上,x1^2-y1^2=a^2 (2)
x2^2-y2^2=a^2 (3)
向量PA=(x1-x0,y1-y0),向量PB=(x2-x0,y2-y0),
向量PA·向量PB=(x1-x0)(x2-x0)+(y1-y0)(y2-y0)=0
∴(x1-x0)(x2-x0)=-(y1-y0)(y2-y0) (4)
且点A,B分别在双曲线的两支.
(2)-(1)得(x1-x0)(x1+x0)-(y1-y0)(y1+y0)=0,
∴(x1-x0)(x1+x0)=(y1-y0)(y1+y0) (5)
同理(x2-x0)(x2+x0)=(y2-y0)(y2+y0) (6)
(5)×(6)÷(4)得(x1+x0)(x2+x0)=-(y1+y0)(y2+y0).
(1)PA中点M为((x0+x1)/2,(y0+y1)/2),PB中点N为((x0+x2)/2,(y0+y2)/2),
向量OM·向量ON=(1/4)[(x0+x1)(x0+x2)+(y0+y1)(y0+y2)]=0.
(2)为简单起见,记x0=m,y0=n,不妨设PA的方程为x=m+k(y-n),其中kmn≥0,(7)
代入x^2-y^2=a^2,化简得(k^2-1)y^2+(2km-2k^2*n)y-2kmn+(1+k^2)n^2=0,
解得y1=n,y2=[-2km+(1+k^2)n]/(k^2-1),(8)
由弦长公式得∣PA∣=∣y1-y2∣√(1+k^2)=2∣(-km+n)[√(1+k^2)]/(k^2-1)∣,
以-1/k代k,化简得∣PB∣=2∣(m+kn)[√(1+k^2)]/(k^2-1)∣,
设f(k)=∣AB∣^2-4(m^2+n^2)=∣PA∣^2+∣PB∣^2-4(m^2+n^2)
=4(1+k^2)[(1+k^2)(m^2+n^2)+4kmn]/(k^2-1)^2-4(m^2+n^2)
=4[4k^2*(m^2+n^2)+4k(1+k^2)mn]/(k^2-1)^2≥0,
当k→∞时,f(k)→0,∴∣AB∣的最小值是2√(m^2+n^2),即2∣OP∣.
把（8）代入(7)得x2=[-(1+k^2)m+2kn]/(k^2-1)→-m(k→∞),∴A(-m,n)即（-x0,y0）.
解法小结：因难以从(2),(3),(4)消去3个参数,故在第(2)题引进新的参数k,并假设kmn≥0,以简化推理.