作业帮设函数f(x)=x+1/x,先求函数的单调区间.再用函数单调性的定义给予证明
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/05 07:16:07
设函数f(x)=x+1/x,先求函数的单调区间.再用函数单调性的定义给予证明
设函数f(x)=x+1/x,先求函数的单调区间.再用函数单调性的定义给予证明
设函数f(x)=x+1/x,先求函数的单调区间.再用函数单调性的定义给予证明
f(x)=x+1/x的导函数g(x)=1-1/x²
所以 函数的单调增区间是x∈（-∞,-1）U（1,+∞）
函数的单调减区间是∈（-∞,-1）U（1,+∞）
证明：
（1）当x∈（-∞,-1）U（1,+∞）时函数为单调增
设x1＞x2,且x1、x2∈（-∞,-1）U（1,+∞）
那么[f(x1)-f(x2)]/（x1-x2）=1-1/（x1*x2）＞0
——因为x∈（-∞,-1）U（1,+∞） ,所以1/（x1*x2）＜1
所以f(x)在x∈（-∞,-1）U（1,+∞） 范围内是单调增
（2）当 x∈（-1,1） 时函数为单调减
设x1＞x2,且x1、x2∈（-1,1）
那么[f(x1)-f(x2)]/（x1-x2）=1-1/（x1*x2）＜0——因为x∈（-1,1）,所以1/（x1*x2）＞1
所以f(x)在x∈（-1,1）范围内是单调减
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