柯西不等式推导基本不等式这么推导?我说的是证明(a+b)大于等于2√ab

来源：学生作业帮助网编辑：作业帮时间：2024/04/29 11:27:14

柯西不等式推导基本不等式这么推导?我说的是证明(a+b)大于等于2√ab
柯西不等式推导基本不等式
这么推导?
我说的是证明(a+b)大于等于2√ab

柯西不等式推导基本不等式这么推导?我说的是证明(a+b)大于等于2√ab
设x=√a,y=√b,代入Cauchy不等式有
(x+y)^2=(1*x+1*y)^2≤(1^2+1^2)(x^2+y^2)
即a+b+2√(ab)≤2(a+b)
所以a+b≥2√(ab)
我的证法还行吧!

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例：设a、b、c 为正数且各不相等。
求证： (2/a+c)+(2/b+c)+(2/c+a)＞(9/a+b+c)
分析：∵a 、b 、c 均为正数
∴为证结论正确只需证：2(a+b+c)[(1/a+b)+(1/b+c)+(1/c+a)]＞9
而2(a+b+c)=(a+b)+(a+c)+(c+b)
又 9=(1+1+1)(1+1+1)
证明：Θ2(a+b+c)[(1/a+b)+(1/b+c)+(1/c+a)]＝[(a+b)+(a+c)+(b+c)][1/a+b)+(1/b+c)+(1/c+a)]≥(1+1+1)(1+1+1)=9
又 a、b 、c 各不相等，故等号不能成立
∴原不等式成立。

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