作业帮如图,同心圆O,大圆的面积被小圆所平分,若大圆的弦…………如图,同心圆O,大圆的面积被小圆所平分,若大圆的弦AB,CD 分别切与小圆于E,F点,当大圆半径为R时,且AB‖CD,求阴影部分面积.
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/04/30 18:38:28
如图,同心圆O,大圆的面积被小圆所平分,若大圆的弦…………如图,同心圆O,大圆的面积被小圆所平分,若大圆的弦AB,CD 分别切与小圆于E,F点,当大圆半径为R时,且AB‖CD,求阴影部分面积.
如图,同心圆O,大圆的面积被小圆所平分,若大圆的弦…………
如图,同心圆O,大圆的面积被小圆所平分,若大圆的弦AB,CD 分别切与小圆于E,F点,当大圆半径为R时,且AB‖CD,求阴影部分面积.
如图,同心圆O,大圆的面积被小圆所平分,若大圆的弦…………如图,同心圆O,大圆的面积被小圆所平分,若大圆的弦AB,CD 分别切与小圆于E,F点,当大圆半径为R时,且AB‖CD,求阴影部分面积.
∵ 大圆半径为R
∴ 大圆面积为：S大圆 = π（R平方）
设小圆半径为 r ,
则小圆面积为：S小圆 = π （r 平方）
∵ 大圆的面积被小圆所平分
∴ S大圆 = 2 × S小圆
即：π（R平方） = 2 π （r 平方）
∴ （R平方） = 2（r 平方）
∴ R = √2 r
连 OA 、连OB、连OE.
∵ AB 与小圆 切于 点E
∴ OE ⊥ AB
∴ 由等腰三角形底边上的高平分顶角,知：
OE 平分 ∠AOB
在Rt△AOE 中,
OE = r ,OA = R = √2 r
由勾股定理求得 AE = r
∴ △AOE 为等腰直角三角形,且∠AOE = 45°
∴ ∠AOB = 90°
注：以上结论您也可以由
cos∠AOE = OE / OA
= r / (√2 r)
= √2 / 2 得出 ∠AOE = 45°
∵∠AOB = 90°
∴ 扇形AOB 的面积 = 大圆面积的四分之一
即：S扇形AOB = （1/4）× S大圆
= （1/4）× π（R平方）
∵ △AOB 的面积 S△AOB = （1/2）× （2AE）× OE
= （1/2）× （2r）× r
= r 平方
= （1/2）× R平方
∴ AB上方的弓形的面积为：
S扇形AOB -- S△AOB
= （1/4）× π（R平方） -- （1/2）× R平方
CD 下方的弓形的面积的值同上.
∴ 阴影部分面积
S阴 = S大圆 -- S小圆 -- 2 × 弓形面积
= π（R平方）--（1/2)×π（R平方）-- 2 × [（1/4）× π（R平方） --（1/2）× （ R平方）]
=（1/2)×π（R平方）-- （1/2)×π（R平方）+ （ R平方）
= R平方