作业帮问个圆锥曲线的题抛物线y=x^2/2,P是此抛物线上一动点,m是P点处切线.直线l过P点,且与m垂直,l与抛物线另一交点为Q,M是PQ中点.求M轨迹方程以及这个轨迹到x轴最短距离
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/10 04:34:46
问个圆锥曲线的题抛物线y=x^2/2,P是此抛物线上一动点,m是P点处切线.直线l过P点,且与m垂直,l与抛物线另一交点为Q,M是PQ中点.求M轨迹方程以及这个轨迹到x轴最短距离
问个圆锥曲线的题
抛物线y=x^2/2,P是此抛物线上一动点,m是P点处切线.直线l过P点,且与m垂直,l与抛物线另一交点为Q,M是PQ中点.求M轨迹方程以及这个轨迹到x轴最短距离
问个圆锥曲线的题抛物线y=x^2/2,P是此抛物线上一动点,m是P点处切线.直线l过P点,且与m垂直,l与抛物线另一交点为Q,M是PQ中点.求M轨迹方程以及这个轨迹到x轴最短距离
【解】：
记P点坐标为（a,a^2/2）则抛物线过P点的切线m为：
(y+a^2/2)/2=ax/2,化简得：y=ax-a^2/2
则l的方程为：y=-x/a+a^2/2+1
联立抛物线方程得：x^2+(2/a)x-(a^2+2)=0
x[p]+x[q]=-2/a
x[m]=(x[p]+x[q])/2= -1/a
M在l上,所以y[m]=1/a^2+a^2/2+1
令：y[m]=y,x[m]=x=-1/a,则：a=-1/x
y=x^2+1/(2x^2)+1
即得M的轨迹方程.
y=x^2+1/(2x^2)+1≥2√(x^2*(1/2x^2))+1=√2+1
即得最短距离.
设P（x1，x1^2/2）,Q(x2,x2^2/2) M(x,y)
x=(x1+x2)/2 y=(x1^2+x2^2)/4 ***********1******************
又P处切线斜率为（x^2/2）在x1处的导数=4x1
所以有PQ的斜率为-（1/4x1）
有（x1^2-x2^2)/4/(x1-x2)=(x1+x2)=-(1/4x1)
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设P（x1，x1^2/2）,Q(x2,x2^2/2) M(x,y)
x=(x1+x2)/2 y=(x1^2+x2^2)/4 ***********1******************
又P处切线斜率为（x^2/2）在x1处的导数=4x1
所以有PQ的斜率为-（1/4x1）
有（x1^2-x2^2)/4/(x1-x2)=(x1+x2)=-(1/4x1)
所以x2=-(1/4x1)-x1
代上式入********1*********
可分别得出x，y的关于x1的关系式，然后以x1为桥梁得出x，y的关系式
我算得y=x^2+（1/8x^2）+1/8 不知道算对没，你自己再算一遍吧！
假设我算对了，那么最短距离显然是当且仅当x^4=1/8时为最短距离=4倍根号2+1/8
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答案如下：
设P点坐标为（a,a^2/2）则抛物线过P点的切线m为：
(y+a^2/2)/2=ax/2，化简得：y=ax-a^2/2
则l的方程为：y=-x/a+a^2/2+1
联立抛物线方程得：x^2+(2/a)x-(a^2+2)=0
x[p]+x[q]=-2/a
x[m]=(x[p]+x[q])/2= -1/a
M在l上，所以y...
全部展开
答案如下：
设P点坐标为（a,a^2/2）则抛物线过P点的切线m为：
(y+a^2/2)/2=ax/2，化简得：y=ax-a^2/2
则l的方程为：y=-x/a+a^2/2+1
联立抛物线方程得：x^2+(2/a)x-(a^2+2)=0
x[p]+x[q]=-2/a
x[m]=(x[p]+x[q])/2= -1/a
M在l上，所以y[m]=1/a^2+a^2/2+1
令：y[m]=y，x[m]=x=-1/a，则：a=-1/x
y=x^2+1/(2x^2)+1
即得M的轨迹方程。
y=x^2+1/(2x^2)+1≥2√(x^2*(1/2x^2))+1=√2+1
即得最短距离。
还有什么不会的尽管问
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