已知非零向量a,b的夹角为60°.且|a|=|b|=2.若向量c满足（a-c）.（b-c）=0.则|c|的取值范围为?是求取值范围...

来源：学生作业帮助网编辑：作业帮时间：2024/05/03 14:03:03

已知非零向量a,b的夹角为60°.且|a|=|b|=2.若向量c满足（a-c）.（b-c）=0.则|c|的取值范围为?是求取值范围...
已知非零向量a,b的夹角为60°.且|a|=|b|=2.若向量c满足（a-c）.（b-c）=0.则|c|的取值范围为?
是求取值范围...

已知非零向量a,b的夹角为60°.且|a|=|b|=2.若向量c满足（a-c）.（b-c）=0.则|c|的取值范围为?是求取值范围...
建立坐标系,以a、b的角平分线所在直线为x轴,
使得a的坐标为（√3,1）,b的坐标为（√3,-1）,
（坐标系的建立不是唯一的,但此种建法计算相对较为简单）
设c的坐标为（x,y）,
则由已知,有（√3-x,1-y）（√3-x,-1-y）=0,
整理后有：（x-√3）^2+y^2=1
这是一个圆 .

要求|c|的最大值,即在圆上找一点离原点最远,显然应取（1+√3,0）,此时有最大值1+√3 .
要求|c|的最小值,即在圆上找一点离原点最近,显然应取（√3-1,0）,此时有最大值√3-1.

所以|c|的取值范围为[√3-1,√3+1].

由已知得 a*b=|a|*|b|*cos=2*2*1/2= 2 ，
由 |a+b|^2=a^2+2a*b+b^2=4+4+4=12 得 |a+b|=2√3 。
设 |c|=x ，则由 (a-c)*(b-c)=0 得
a*b-c*(a+b)+c^2=0 ，
即 x^2-2√3xcos+2=0 ，
显然 x ≠ 0 ，因此 cos

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由已知得 a*b=|a|*|b|*cos=2*2*1/2= 2 ，
由 |a+b|^2=a^2+2a*b+b^2=4+4+4=12 得 |a+b|=2√3 。
设 |c|=x ，则由 (a-c)*(b-c)=0 得
a*b-c*(a+b)+c^2=0 ，
即 x^2-2√3xcos+2=0 ，
显然 x ≠ 0 ，因此 cos=(x^2+2)/(2√3x) ，
由 -1<=cos<=1 得 |(x^2+2)/(2√3x)|<=1 ，
所以 x^2-2√3x+2<=0 ，
解得 √3-1<=x<=√3+1 ，
所以，|c| 的取值范围是 [√3-1，√3+1] 。

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