高等代数,矩阵运算A为nxn矩阵,A∧2=A,证明：rank(A)+rank(A-E)=n

来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/04/29 05:05:50
高等代数,矩阵运算A为nxn矩阵,A∧2=A,证明：rank(A)+rank(A-E)=n

高等代数,矩阵运算A为nxn矩阵,A∧2=A,证明：rank(A)+rank(A-E)=n
高等代数,矩阵运算
A为nxn矩阵,A∧2=A,证明：rank(A)+rank(A-E)=n

高等代数,矩阵运算A为nxn矩阵,A∧2=A,证明：rank(A)+rank(A-E)=n
利用两个引理就可以了～
（1）对于m乘n阶矩阵A、n乘s阶矩阵B：若AB=0,则r（A）+r（B）<=n
（2）对于n阶矩阵A、B,有r（A+B）<=r（A）+r（B）
证明上面的两个引理：
（1）因为AB=0,所以B的列向量均为AX=0的解,则B的列向量组的秩不超过AX=0的解空间W的维数,即r（B）<=dimW=n-r（A）（齐次线性方程组解空间维数等于未知量个数减去系数矩阵的秩）,从而r（A）+r（B）<=n
（2）设a1,…,an为A的列向量,b1,…,bn为B的列向量,不妨设a1,…,ar为A的列向量的极大线性无关组,b1,…,bl为B的列向量的极大线性无关组,则a1,…,an均可由a1,…,ar线性表出,b1,…,bn均可由b1,…,bl线性表出,从而A+B的列向量a1+b1,…an+bn均可由a1,…,ar,b1,…,bl线性表出,从而r（A+B）<=r（a1,…,ar,b1,…,bl）<=r（a1,…,ar）+r（b1,…,bl）=r（A）+r（B）
现在来证明该题：
利用（1）,有r（A）+r（A-E）=r（A）+r（E-A）>=r（A+E-A）=r（E）=n
又A^2-A=A（A-E）=0
从而利用（2）可得r（A）+r（A-E）<=n
所以r（A）+r（A-E）=n

高等代数,矩阵运算A为nxn矩阵,A∧2=A,证明：rank(A)+rank(A-E)=n 高等代数矩阵证明题A为nxn矩阵,rankA=r,证：存在一个nxn可逆矩阵P使PAP∧(-1)的后n-r行全为0（只用行列式、线性相关性、矩阵运算的知识,后面还没学到）感觉给右乘P∧-1没什么用啊，只要求后n- 高等代数,矩阵运算证明A,B,C,D都为nxn矩阵,A的行列式不为0,AC=CA,证：G的行列式=H的行列式,其中G为2x2分块矩阵,G11=A,G12=B,G21=C,G22=D,H为1x1分块矩阵,H11=AD-CB 高等代数 矩阵运算 高等代数 设A为n阶实反对称矩阵 求证矩阵 A^2为实对称矩阵 高等代数,矩阵运算证明A∧*表示矩阵A的伴随矩阵,它的每一个元素为A的相应元素的代数余子式,证：(A∧*)∧*=(A的行列式)∧(n-2)A,其中A为n级,n≥2只用行列式、线性相关、 矩阵运算的知识 高等代数题目：已知A为mXn矩阵,m已知A为mXn矩阵，m 高等代数考研题目,求所有三阶复矩阵A,使A与A^2相似 高等代数 矩阵 方程组A为m*n型矩阵,B为n*m型矩阵,r(A)=m,BA=0,则B=? 一个高等代数问题?关于矩阵矩阵A是一实数矩阵,求证秩（AA')=秩(A) 高等代数习题求解～关于矩阵与多项式理论已知A为n阶方阵 A^3+4A=E求证 A^2-2011A 可逆 设A为正定矩阵,证明A的对角线上的元素都大于零高等代数题 线性代数关于对称矩阵的问题.若A,B均为nxn的矩阵,那么以下的矩阵是否必为对称矩阵或非对称矩阵?（1）ABA （2）AB+BA 高等代数,矩阵问题,5, 高等代数若矩阵A的最小多项式为x(x-1)的因式,为什么他的特征多项式为x∧r(x-1)∧n-r 刘老师,已知n阶矩阵A与上三角矩阵B=(bij)nxn相似,则A的特征值为? 大一线性代数矩阵运算设A,B为n阶矩阵,且A为对称矩阵,证明BtAB也是对称矩阵.注:Bt为转置矩阵,手机打不对. 高等代数怎么证明复数矩阵A与他的共轭矩阵,他俩的行列式也互为共轭