如图,矩形ABCD和梯形BEFC所在平面互相垂直,BE∥CF且BE＜CF,∠BCF=90°,AD=√3,EF=2如图,矩形ABCD和梯形BEFC所在平面互相垂直,BE∥CF且BE＜CF,∠BCF=90°,AD=√3,EF=2（1）求证：AE∥平面DCF；（2）设AB/BE=λ（λ

来源：学生作业帮助网编辑：作业帮时间：2024/05/09 01:16:46

如图,矩形ABCD和梯形BEFC所在平面互相垂直,BE∥CF且BE＜CF,∠BCF=90°,AD=√3,EF=2如图,矩形ABCD和梯形BEFC所在平面互相垂直,BE∥CF且BE＜CF,∠BCF=90°,AD=√3,EF=2（1）求证：AE∥平面DCF；（2）设AB/BE=λ（λ
如图,矩形ABCD和梯形BEFC所在平面互相垂直,BE∥CF且BE＜CF,∠BCF=90°,AD=√3,EF=2
如图,矩形ABCD和梯形BEFC所在平面互相垂直,BE∥CF且BE＜CF,∠BCF=90°,AD=√3,EF=2
（1）求证：AE∥平面DCF；
（2）设AB/BE=λ（λ＞0）,当λ为何值时,二面角A-EF-C的大小为60°.

如图,矩形ABCD和梯形BEFC所在平面互相垂直,BE∥CF且BE＜CF,∠BCF=90°,AD=√3,EF=2如图,矩形ABCD和梯形BEFC所在平面互相垂直,BE∥CF且BE＜CF,∠BCF=90°,AD=√3,EF=2（1）求证：AE∥平面DCF；（2）设AB/BE=λ（λ
（1）证明：因为BE∥CF,AB∥CD,
所以面ABE∥面DCF,
所以AE∥平面DCF；
（2）过点B作BO⊥EF,交FE延长线于O,
因为EF=2,BC=AD=√3,BE∥CF,∠BCF=90°
易得∠EFC=60°,
所以∠OEB=∠EFC=60°,
则BO=BE*sin60°=BE*√3/2,
因为AB⊥BC,面ABCD⊥面BEFC,
所以AB⊥面DEFC,
又因为BE∥CF,
所以二面角A-EF-C=二面角A-EF-B=∠AOB=60°,
所以tan∠AOB=BO/AB=√3,
解得λ=1/2

证明：（I）BE∥CF，AB∥CD且BE∩AB=B，FC∩CD=C，…2分
∴面ABE∥面CDF…3分，
又DF⊂面CDF，
DF∥平面ABE；…4分
（II）过E作GE⊥CF交CF于G
∴EG∥BC∥AD且EG=BC=AD
∴EG=AD=3，又EF=2，
∴GF=1
∵四边形ABCD为科技，
∴DC⊥BC

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证明：（I）BE∥CF，AB∥CD且BE∩AB=B，FC∩CD=C，…2分
∴面ABE∥面CDF…3分，
又DF⊂面CDF，
DF∥平面ABE；…4分
（II）过E作GE⊥CF交CF于G
∴EG∥BC∥AD且EG=BC=AD
∴EG=AD=3，又EF=2，
∴GF=1
∵四边形ABCD为科技，
∴DC⊥BC
∵∠BCF=π2，∴FC⊥BC
又平面AC⊥平面BF，平面AC∩平面BF=BC
∴FC⊥平面AC，
∴FC⊥D
以C为坐标原点，以CB，CD，CF分别为x，y，z轴建系，…6分
设CD=m，CF=λm
A(3，m，0)，E(3，0，λ-1)，F(0，0，λm)，D(0，m，0)，B（3，0，0），C（0，0，0）
∴EF→=（-3，0，1），DF→=（0，-m，λm）…7分
取平面CEF的一个法向量n→=（0，1，0）…8分
取平面DEF的一个法向量m→=（x，y，z），则
{m→•EF→=0m→•DF→=0，即{-3x+z=0-my+λmz=0
则m→=（1，3λ，3）…10分
则cosπ6=3λ4+3λ2=32…12分
解得：λ=2
即当λ=2时，二面角D-EF-C的大小为π6…13分

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