作业帮关于相似三角形的问题已知正方形ABCD,过点B做∠EBF,∠EBF=45°.BE交直线AC于点E,BF交AC于G,交直线CD于F.（1）如图1,当点E在AC上时,点F在CD上,求证：CF+√2 AE=BC（2）如图2,当点E在CA的延长线上,点F在CD
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/10 20:52:43
关于相似三角形的问题已知正方形ABCD,过点B做∠EBF,∠EBF=45°.BE交直线AC于点E,BF交AC于G,交直线CD于F.（1）如图1,当点E在AC上时,点F在CD上,求证：CF+√2 AE=BC（2）如图2,当点E在CA的延长线上,点F在CD
关于相似三角形的问题
已知正方形ABCD,过点B做∠EBF,∠EBF=45°.BE交直线AC于点E,BF交AC于G,交直线CD于F.
（1）如图1,当点E在AC上时,点F在CD上,求证：CF+√2 AE=BC
（2）如图2,当点E在CA的延长线上,点F在CD的延长线时,猜想CF、AE、BC的数量关系.
关于相似三角形的问题已知正方形ABCD,过点B做∠EBF,∠EBF=45°.BE交直线AC于点E,BF交AC于G,交直线CD于F.（1）如图1,当点E在AC上时,点F在CD上,求证：CF+√2 AE=BC（2）如图2,当点E在CA的延长线上,点F在CD
第一个问题：
过F作FH⊥AB交AB于H.
∵ABCD是正方形,∴HB⊥BC、FC⊥BC,结合作出的FH⊥BH,得：BCFH是矩形,
∴CF＝BH,且∠BCH＝∠CBF.
∵ABCD是正方形,∴∠BAC＝∠ACB＝45°,∠ABC＝90°,又∠EBF＝45°,
∴∠ECH＝∠ACB－∠BCH＝45°－∠CBF, ∠EBH＝∠ABC－∠EBF－∠CBF＝45°－∠CBF,
∴∠ECH＝∠EBH,∴B、C、E、H共圆,∴∠HEC＋∠ABC＝180°,∴∠HEC＝90°,
结合证得的∠BAC＝45°,得：AH＝√2AE.
显然,有：AH＋BH＝AB,∴√2AE＋CF＝AB.
∵ABCD是正方形,∴AB＝BC,∴CF＋√2AE＝BC.
第二个问题：
过E作EK⊥CB交CB的延长线于K,延长DA交EK于J.
∵ABCD是正方形,∴∠JAB＝∠ABK＝90°,结合作出的JK⊥BK,得：ABKJ是矩形,
∴AJ＝BK,AB＝JK,且∠AJE＝90°.
∵ABCD是正方形,∴AB＝BC,∠CAD＝45°.
∴∠JAE＝∠CAD＝45°,结合证得的∠AJE＝90°,得：EJ＝AJ＝AE/√2.
∴EK＝EJ＋JK＝AE/√2＋BC, BK＝AJ＝AE/√2.
由勾股定理,有：BE^2＝EK^2＋BK^2＝（AE/√2＋BC）^2＋（AE/√2）^2.
∵ABCD是正方形,∴∠BCD＝90°,∠ECF＝45°,又∠EBF＝45°,∴B、C、F、E共圆,
∴∠BEF＝180°－∠BCD＝90°,∴EF＝BF.
∴EF^2＝BE^2＝（AE/√2＋BC）^2＋（AE/√2）^2
过E作EM⊥CF交CF于M.
由EM⊥CM、KC⊥KC、EK⊥KC,得：EKCM是矩形,又∠ECM＝45°,
∴矩形EKCM是正方形,∴CM＝EK＝EM.
∴再由勾股定理,有：EF^2＝EM^2＋MF^2,
∴（AE/√2＋BC）^2＋（AE/√2）^2＝（AE/√2＋BC）^2＋（CF－CM）^2,
∴AE/√2＝CF－CM＝CF－EK＝CF－（AE/√2＋BC）＝CF－AE/√2－BC,
∴CF－（2AE/√2）＝BC,∴CF－√2AE＝BC.
∴此时CF、AE、BC的数量关系是：CF－√2AE＝BC.