作业帮数学题,麻烦写详细步骤四棱锥P—ABCD中,底面为矩形,PA垂直ABCD,PA＝AB＝根号6,点E是棱PB的中点.求AD与平面PBC的距离,AD＝根号3求二面角A-EC-D的余弦值
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/03 09:33:02
数学题,麻烦写详细步骤四棱锥P—ABCD中,底面为矩形,PA垂直ABCD,PA＝AB＝根号6,点E是棱PB的中点.求AD与平面PBC的距离,AD＝根号3求二面角A-EC-D的余弦值
数学题,麻烦写详细步骤
四棱锥P—ABCD中,底面为矩形,PA垂直ABCD,PA＝AB＝根号6,点E是棱PB的中点.求AD与平面PBC的距离,AD＝根号3求二面角A-EC-D的余弦值
数学题,麻烦写详细步骤四棱锥P—ABCD中,底面为矩形,PA垂直ABCD,PA＝AB＝根号6,点E是棱PB的中点.求AD与平面PBC的距离,AD＝根号3求二面角A-EC-D的余弦值
（1）在矩形ABCD中,AD∥BC,从而AD∥平面PBC,故直线AD与平面PBC的距离为点A到平面PBC的距离,因PA⊥底面ABCD,故PA⊥AB,知△PAB为等腰直角三角形,又点E是棱PB的中点,故AE⊥PB,又在矩形ABCD中,BC⊥AB,而AB是PB的底面ABCD内的射影,由三垂线定理得BC⊥PB,从而BC⊥平面PAB,故BC⊥AE,从而AE⊥平面PBC,故AE之长即为直线AD与平面PBC的距离,在Rt△PAB中,PA=AB=根号6,所以AE=1/2PB=1/2根号(PA^2+AB^2)=根号3（2）过点D作DF⊥CE,过点F做FG⊥CE,交AC于G,则∠DFG为所求的二面角的平面角．由（1）知BC⊥平面PAB,又AD∥BC,得AD⊥平面PAB,故AD⊥AE,从而DE=根号(AE^2+AD^2) =根号6在Rt△CBE中,CE=根号(BE^2+BC^2)=6,由CD=根号6,所以△CDE为等边三角形,故F为CE的中点,且DF=CD•sinπ3=(3*根号2)/2因为AE⊥平面PBC,故AE⊥CE,又FG⊥CE,知FG∥AE．且FG=1/2AE,从而FG=(根号3)/2,且G点为AC的中点,连接DG,则在Rt△ADC中,DG=1/2根号(AD^2+CD^2)=3/2,所以cos∠DFG=(DF^2+FG^2-DG^2)/2DF•FG=(根号6)/3
PA⊥平面ABCD，得PA⊥PB，且PA=AB=根号2，所以△ABP为等腰直角三角形，且PB=2，E为PB中点，AE⊥PB，AE=PE=BE=1，取CE中点F，连接BF、DF，因BC=AD=1，BE=1，所以BF⊥CEDA⊥AB，DA⊥PA，所以DA⊥面PAB，即PA⊥AEAE=1，AD=1，所以DE=根号2=CD，F为CE中点，所以DF⊥CEBF⊥CE，DF⊥CE，∠BFD即为二面角B-EC-D...
全部展开
PA⊥平面ABCD，得PA⊥PB，且PA=AB=根号2，所以△ABP为等腰直角三角形，且PB=2，E为PB中点，AE⊥PB，AE=PE=BE=1，取CE中点F，连接BF、DF，因BC=AD=1，BE=1，所以BF⊥CEDA⊥AB，DA⊥PA，所以DA⊥面PAB，即PA⊥AEAE=1，AD=1，所以DE=根号2=CD，F为CE中点，所以DF⊥CEBF⊥CE，DF⊥CE，∠BFD即为二面角B-EC-D的平面角∠BFD明显是钝角，求它的余弦，即求它补角余弦的负值DF=二分之根号六，D到平面高为1，则另一边为二分之根号二，则cos∠BFD=-(二分之根号二/二分之根号六）=-三分之根号三
收起