求证四个连续正整数的积与1的和是一个质数的平方

来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/05/16 02:14:58
求证四个连续正整数的积与1的和是一个质数的平方

求证四个连续正整数的积与1的和是一个质数的平方
求证四个连续正整数的积与1的和是一个质数的平方

求证四个连续正整数的积与1的和是一个质数的平方
设第一个自然数为a
则这四个连续自然数的积与1的和为a*(a+1)*(a+2)*(a+3)+1
a*(a+1)*(a+2)*(a+3)+1
=a*(a+3)*(a+1)*(a+2)+1
=(a^2+3a)(a^2+3a+2)+1
=(a^2+3a)(a^2+3a)+2(a^2+3a)+1
=(a^2+3a+1)^2
又因为a为自然数
(1)a是奇数时,a^2,3a都是奇数
(2)a是偶数时,a^2,3a都是偶数.
所以不论a是奇数还是偶数,a^2+3a+1总是一个质数.
所以四个连续自然数的积与1的和是一个质数的平方.