高一立体几何题在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M为棱CC1的中点,AC交BD于O点,求证A1O垂直于MBD

来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/05/07 03:41:34
高一立体几何题在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M为棱CC1的中点,AC交BD于O点,求证A1O垂直于MBD

高一立体几何题在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M为棱CC1的中点,AC交BD于O点,求证A1O垂直于MBD
高一立体几何题
在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M为棱CC1的中点,AC交BD于O点,
求证A1O垂直于MBD

高一立体几何题在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M为棱CC1的中点,AC交BD于O点,求证A1O垂直于MBD
证明:连接BA1,DA1,OA1,OM
显然,O为BD中点,而三角形BA1D为等腰三角形,固有A1O垂直于BD
在平面AA1C1C内,易得A1A/AO=OC/CM =>三角形A1AO相似于三角形OCM
=>角AOA1=角OMC=90°-角MOC
=>角AOA1+角MOC=90°
=>A1O垂直于OM
显然,由A1O垂直于平面BMD内两条相交直线可得A1O垂直于MBD
证毕!

证明:因为BD垂直于平面AA1C1C,A1O在平面AA1C1C内,所以BD垂直于A1O。 设正方体的棱长为1,则A1O=根号(6)/2,
OM=根号(1/2+1/4)=(根号3)/2
A1M=根号(2+1/4)=3/2
因为A1M^2=A1O^2+OM^2
所以A1O垂直于OM,
故A1O垂直于平面MBD。

证明:做DD1的中点N,连接AN,则AN//BM.
做AD的中点P,连接OP
则A1P垂直AN,AN//BM.
则A1P垂直AN.
推出:A1O垂直AN(射影定理:垂直射影就垂直斜线.)
A1O垂直BD(同上)
推出A1O垂直平面MBD.(垂直两条相交的线,就垂直着个面)

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