作业帮证明不等式：当0≤X当x ＞0时，x＞In(1+x)
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/04/28 07:15:59
证明不等式：当0≤X当x ＞0时，x＞In(1+x)
证明不等式：当0≤X
当x ＞0时，x＞In(1+x)
证明不等式：当0≤X当x ＞0时，x＞In(1+x)
设函数f(x)=arctanx,g(x)=x,x＞0
f(0)=0,g(0)=0
f'(x)=1/(1+x²)＞0,g'(x)=1＞0
f'(x)-g'(x)=1/(1+x²)-1=-x²/(1+x²)≤0即f'(x)≤g'(x)
f(x)与g(x)在左端点处的函数值相同,在[0,+∞)上f(x)与g(x)单调递增且f'(x)≤g'(x),所以有arctanx≤x,仅当x=0时取等号
设函数f(x)=x,g(x)=ln(1+x),x＞0
f(0)=0,g(0)=0
f'(x)=1＞0,g'(x)=1/(1+x)＞0
f'(x)-g'(x)=1-1/(1+x)=x/(1+x)＞0即f'(x)＞g'(x)
f(x)与g(x)在左端点处的函数值值相同,在(0,+∞)上f(x)与g(x)单调递增且f'(x)＞g'(x),所以有x＞ln(1+x)
由三角函数线，即正弦线得tanx>=x 0<=x<=pi/2
由于y=arctanx单增,x>=0时
arctanx≤X
f(x)=x-In(1+x)
f'(x)=1-1/(1+x)
当x ＞0时.f'(x)>0
f(x)单增
f(0)=0
当x ＞0时，f(x)》0
即x＞In(1+x)
第1道
设f(x)=tanx-x
f'(x)=[1-(cosx)^2]/(cosx)^2<=0 x>=0
所以 f(x)<=f(0)=0 所以 tanx<=x 所以 arctan<=x
第2道
设 f(x)=ln(1+x)-x
令f'(x)=-x/(1+x)=0 得x=0 x>=0时 f'(x)<0
所以 f(x)在[0,正无穷）单调递减
所以 f(x)<=f(0)=0 所以x>ln(1+x)