已知函数f(x)=x^2+aln x+2/x在[1,+∞)上是单调函数,求实数a的取值范围.

来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/04/29 23:02:22
已知函数f(x)=x^2+aln x+2/x在[1,+∞)上是单调函数,求实数a的取值范围.

已知函数f(x)=x^2+aln x+2/x在[1,+∞)上是单调函数,求实数a的取值范围.
已知函数f(x)=x^2+aln x+2/x在[1,+∞)上是单调函数,求实数a的取值范围.

已知函数f(x)=x^2+aln x+2/x在[1,+∞)上是单调函数,求实数a的取值范围.
f'(x)=2x+a/x-2/x²
∵在[1,+∞)上是单调函数,
若递增则 f'(x)≥0恒成立
,即2x+a/x-2/x²≥0,a/x≥2/x²-2x,
即a≥2/x-2x²恒成立
设g(x)=2/x-2x²
需a≥g(x)max
∵ g'(x)=-2/x²-4x

f'(x)=2x+a/x-2/x²

∵在[1,+∞)上是单调函数,
若递增则 f'(x)≥0恒成立
,即2x+a/x-2/x²≥0,a/x≥2/x²-2x,
即a≥2/x-2x²恒成立
设g(x)=2/x-2x²
需a≥g(x)max
∵ g'(x)=-2/x...

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f'(x)=2x+a/x-2/x²

∵在[1,+∞)上是单调函数,
若递增则 f'(x)≥0恒成立
,即2x+a/x-2/x²≥0,a/x≥2/x²-2x,
即a≥2/x-2x²恒成立
设g(x)=2/x-2x²
需a≥g(x)max
∵ g'(x)=-2/x²-4x<0
∴g(x)是减函数
∴ g(x)max=g(1)=0
∴a≥0

若f(x)在[1,+∞)上是单调递减函数,
则a≤2/x-2x²恒成立,此时a不存在

∴实数a的取值范围.a≥0

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