如图,在△ABC中,P是△ABC内任意一点,∠BPC与∠A有怎样的大小关系,证明你的结论

来源：学生作业帮助网编辑：作业帮时间：2024/05/01 01:52:47

如图,在△ABC中,P是△ABC内任意一点,∠BPC与∠A有怎样的大小关系,证明你的结论
如图,在△ABC中,P是△ABC内任意一点,∠BPC与∠A有怎样的大小关系,证明你的结论

如图,在△ABC中,P是△ABC内任意一点,∠BPC与∠A有怎样的大小关系,证明你的结论
∠BPC＞∠A
证：连接AD,并延长AD交BC与E
∵三角形ADC中,∠EDC是外角
∴∠EDC＞∠DAC（三角形的一个外角大于不相邻的任意一个内角）
∵三角形ADB中,∠EDB是外角
∴∠EDB＞∠DAB（三角形的一个外角大于不相邻的任意一个内角）
∴∠EDC+∠EDB＞∠DAC+∠DAB（不等式性质）
即 ∠BPC＞∠A

∠BPC＞∠A，
因为∠A＝180－(∠ABC＋∠ACB)，∠BPC＝180－(∠PBC＋∠PCB)
因为∠ABC＞∠PBC，∠ACB＞∠PCB
则∠ABC＋∠ACB＞∠PBC＋∠PCB
所以∠BPC＞∠A

∵∠A+∠B+∠C=180°（三角形内角和180°）
∴∠B+∠C=180°-∠A
∠PBC+∠PCB=二分之一（180°-∠A）
∴∠PBC+∠PCB=90°-二分之一∠A
∵∠BPC+∠PBC+∠PCB=180°（三角形内角和180°）
∴∠BPC=180°-（90°-二分之一∠A）
∠BPC=90°+二分之一∠A

当然〈BPC〉〈A，
连结AP，与BC交于Q，
〈BPQ=〈BAP+〈ABP，（外角等于不相邻二内角和），
〈BPQ〉〈BAP，
同理〈QPC=〈PAC+〈ACP，
〈QPC〉〈PAC，
〈BPQ+〈QPC〉〈BAP+〈PAC，
故〈BPC〉〈A。

∠BPC＞∠A
证明：连接AD并延长交BC与E
∵三角形ADC中，∠EDC是外角
∴∠EDC=∠DAC+∠ACD
即∠EDC大于∠DAC
同理
∵三角形ADB中，∠EDB是外角
∴∠EDB=∠DAB+DBA
∴∠EDB＞∠DAB
又因为∠BDC=∠BDE+∠CDE
=∠DAC+∠ACD+∠DAB+∠DBA
∴∠...

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∠BPC＞∠A
证明：连接AD并延长交BC与E
∵三角形ADC中，∠EDC是外角
∴∠EDC=∠DAC+∠ACD
即∠EDC大于∠DAC
同理
∵三角形ADB中，∠EDB是外角
∴∠EDB=∠DAB+DBA
∴∠EDB＞∠DAB
又因为∠BDC=∠BDE+∠CDE
=∠DAC+∠ACD+∠DAB+∠DBA
∴∠EDC+∠EDB＞∠DAC+∠DAB
即 ∠BPC＞∠A
故得证

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