作业帮如图半径分别为m,n的两圆⊙O1和⊙O2相交于P,Q两点,且点P（4,1）,两圆同时与两坐标轴相切,⊙O1与x轴,y轴分别切于点M,点N,⊙O2与x轴,y轴分别切于点R,点H.（1）求两圆的圆心O1,O2所在直线的解析式
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/03 05:54:16
如图半径分别为m,n的两圆⊙O1和⊙O2相交于P,Q两点,且点P（4,1）,两圆同时与两坐标轴相切,⊙O1与x轴,y轴分别切于点M,点N,⊙O2与x轴,y轴分别切于点R,点H.（1）求两圆的圆心O1,O2所在直线的解析式
如图半径分别为m,n的两圆⊙O1和⊙O2相交于P,Q两点,且点P（4,1）,两圆同时与两坐标轴相切,⊙O1与x轴,y轴分别切于点M,点N,⊙O2与x轴,y轴分别切于点R,点H.
（1）求两圆的圆心O1,O2所在直线的解析式；
（2）求两圆的圆心O1,O2之间的距离d；
（3）令四边形PO1QO2的面积为S1,
四边形RMO1O2的面积为S2.
试探究：是否存在一条经过P,Q两点、开口向下,且在x轴上截得的线段长为的抛物线?若存在,亲、请求出此抛物线的解析式；若不存在,请说明理由.
如图半径分别为m,n的两圆⊙O1和⊙O2相交于P,Q两点,且点P（4,1）,两圆同时与两坐标轴相切,⊙O1与x轴,y轴分别切于点M,点N,⊙O2与x轴,y轴分别切于点R,点H.（1）求两圆的圆心O1,O2所在直线的解析式
（1）由题意可知O1（m,m）,O2（n,n）,
设过点O1,O2的直线解析式为y=kx+b,则有：
mk+b=mnk+b=n
（0＜m＜n）,解得
k=1b=0
,
∴所求直线的解析式为：y=x．
（2）由相交两圆的性质,可知P、Q点关于O1O2对称．
∵P（4,1）,直线O1O2解析式为y=x,∴Q（1,4）．
如解答图1,连接O1Q．
∵Q（1,4）,O1（m,m）,根据两点间距离公式得到：
O1Q=
(m-1)2+(m-4)2
=
2m2-10m+17
又O1Q为小圆半径,即QO1=m,
∴
2m2-10m+17
=m,化简得：m2-10m+17=0 ①
如解答图1,连接O2Q,同理可得：n2-10n+17=0 ②
由①,②式可知,m、n是一元二次方程x2-10x+17=0 ③的两个根,
解③得：x=5±2
2
,∵0＜m＜n,∴m=5-2
2
,n=5+2
2
．
∵O1（m,m）,O2（n,n）,
∴d=O1O2=
(m-n)2+(m-n)2
=8．
（3）假设存在这样的抛物线,其解析式为y=ax2+bx+c,因为开口向下,所以a＜0．
如解答图2,连接PQ．
由相交两圆性质可知,PQ⊥O1O2．
∵P（4,1）,Q（1,4）,
∴PQ=
(4-1)2+(1-4)2
=3
2
,又O1O2=8,
∴S1=
1
2
PQ•O1O2=
1
2
×3
2
×8=12
2
；
又S2=
1
2
（O2R+O1M）•MR=
1
2
（n+m）（n-m）=20
2
；
∴
|s1-s2|
2d
=
|122-202|
2×8
=1,即抛物线在x轴上截得的线段长为1．
∵抛物线过点P（4,1）,Q（1,4）,
∴
16a+4b+c=1a+b+c=4
,解得
b=-(5a+1)c=5+4a
,
∴抛物线解析式为：y=ax2-（5a+1）x+5+4a,
令y=0,则有：ax2-（5a+1）x+5+4a=0,
设两根为x1,x2,则有：x1+x2=
5a+1
a
,x1x2=
5+4a
a
,
∵在x轴上截得的线段长为1,即|x1-x2|=1,
∴（x1-x2）2=1,∴（x1+x2）2-4x1x2=1,
即（
5a+1
a
）2-4（
5+4a
a
）=1,化简得：8a2-10a+1=0,
解得a=
5±17
8
,可见a的两个根均大于0,这与抛物线开口向下（即a＜0）矛盾,
∴不存在这样的抛物线．