作业帮在三角形ABC中,求证tanA+tanB+tanC≥3√3
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/04/29 09:56:07
在三角形ABC中,求证tanA+tanB+tanC≥3√3
在三角形ABC中,求证tanA+tanB+tanC≥3√3
在三角形ABC中,求证tanA+tanB+tanC≥3√3
题目应该注明锐角三角形,否则命题不成立.
先证明个关于tanAtanBtanC的恒等式,
tanA+tanB+tanC=tan(A+B)(1-tanAtanB)+tanC=tan(pi-C)(1-tanAtanB)+tanC=-tanC(1-tanAtanB)+tanC=tanAtanBtanC.
然后运用均值不等式把tanAtanBtanC又变回tanA+tanB+tanC的形式,并且把等号变为不等号.均值不等式里,代数平均不小于几何平均,你可以参考我给的网页.
tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC<=((tanA+tanB+tanC)/3)^3=1/27*(tanA+tanB+tanC)^3
所以,两边一消（因为是锐角三角形,所以tanA+tanB+tanC>0,可消去）,
tanA+tanB+tanC>=sqrt(27)=3*sqrt(3).
等号在tanA=tanB=tanC时取到,就是说ABC是等边三角形的时候取到,不信可以验证.
限制条件不足，应该说明：△ABC是锐角三角形，否则结论不成立。
如：A＝120°、B＝C＝30°时，tanA＋tanB＋tanC＝－√3＋1/√3＋1/√3＝－1/√3。
当A、B、C都是锐角时，tanA、tanB、tanC都是正数，∴tanA＋tanB≧2√（tanAtanB）。
显然有：tanC＝tan（180°－A－B）＝－tan（A＋B）＝－（tanB＋tanB）/...
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限制条件不足，应该说明：△ABC是锐角三角形，否则结论不成立。
如：A＝120°、B＝C＝30°时，tanA＋tanB＋tanC＝－√3＋1/√3＋1/√3＝－1/√3。
当A、B、C都是锐角时，tanA、tanB、tanC都是正数，∴tanA＋tanB≧2√（tanAtanB）。
显然有：tanC＝tan（180°－A－B）＝－tan（A＋B）＝－（tanB＋tanB）/（1－tanAtanB），
∴tanA＋tanB＋tanC
＝tanA＋tanB－（tanB＋tanB）/（1－tanAtanB）
＝（tanA＋tanB）［1－1/（1－tanAtanB）］
＝（tanA＋tanB）［（1－tanAtanB）－1］/（1－tanAtanB）
＝（tanA＋tanB）tanAtanB/（tanAtanB－1）。
∴tanA＋tanB＋tanC≧2tanAtanB√（tanAtanB）/（tanAtanB－1）。
令tanAtanB＝x^2，得：tanA＋tanB＋tanC≧2x^3/（x^2－1）。
再令f（x）＝x^3/（x^2－1），则：
f′（x）
＝［（x^3）′（x^2－1）－x^3（x^2－1）′］/（x^2－1）^2
＝［3x^2（x^2－1）－x^3（2x）］/（x^2－1）^2
＝x^2（3x^2－3－2x^2）/（x^2－1）^2
＝x^2（x^2－3）/（x^2－1）^2。
令f′（x）＝0，得：x^2（x^2－3）＝0，明显有：x＞0，∴x＝√3。
容易检验出：当x＜√3时，f′（x）＜0，当x＞√3时，f′（x）＞0，
∴当x＝√3时，f（x）有最小值＝f（√3）＝（√3）^3/［（√3）^2－1］＝3√3/2。
∴tanA＋tanB＋tanC≧2f（x）≧3√3。
∴当△ABC为锐角三角形时，有：tanA＋tanB＋tanC≧3√3。
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我研究小学数学，你的太高深了。抱歉。